MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem4 Structured version   Unicode version

Theorem aaliou3lem4 20263
Description: Lemma for aaliou3 20268. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem4  |-  L  e.  RR
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem4
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem.d . . 3  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
2 nnuz 10521 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
32sumeq1i 12492 . . 3  |-  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( F `
 b )
41, 3eqtri 2456 . 2  |-  L  = 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )
5 1nn 10011 . . 3  |-  1  e.  NN
6 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 1 ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  1 ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  1 )  |->  ( ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  1 ) ) ) )
7 aaliou3lem.c . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
86, 7aaliou3lem3 20261 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) ) ) ) )
98simp2d 970 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  e.  RR+ )
10 rpre 10618 . . 3  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( F `
 b )  e.  RR+  ->  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR )
115, 9, 10mp2b 10 . 2  |-  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  e.  RR
124, 11eqeltri 2506 1  |-  L  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043    seq cseq 11323   ^cexp 11382   !cfa 11566    ~~> cli 12278   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  20266  aaliou3lem9  20267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator