MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Structured version   Unicode version

Theorem aaliou3lem5 20266
Description: Lemma for aaliou3 20270. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 12497 . . 3  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . 3  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 12483 . . 3  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5808 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
6 fzfid 11314 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
7 elfznn 11082 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
87adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
9 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
109negeqd 9302 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1110oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
12 aaliou3lem.c . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
13 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5808 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
15 2rp 10619 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
16 nnnn0 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
17 faccl 11578 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
1918nnzd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2019znegcld 10379 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
21 rpexpcl 11402 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2215, 20, 21sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2322rpred 10650 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR )
2414, 23eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  RR )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
266, 25fsumrecl 12530 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  RR )
275, 26eqeltrd 2512 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993   -ucneg 9294   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   RR+crp 10614   ...cfz 11045   ^cexp 11384   !cfa 11568   sum_csu 12481
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  20268  aaliou3lem9  20269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482
  Copyright terms: Public domain W3C validator