MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Unicode version

Theorem aaliou3lem5 19727
Description: Lemma for aaliou3 19731. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 12174 . . 3  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . 3  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 12160 . . 3  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5602 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
6 fzfid 11035 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
7 elfznn 10819 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
9 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
109negeqd 9046 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1110oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
12 aaliou3lem.c . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
13 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
15 2rp 10359 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
16 nnnn0 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
17 faccl 11298 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
1918nnzd 10116 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2019znegcld 10119 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
21 rpexpcl 11122 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2215, 20, 21sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2322rpred 10390 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR )
2414, 23eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  RR )
258, 24syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
266, 25fsumrecl 12207 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  RR )
275, 26eqeltrd 2357 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782   ^cexp 11104   !cfa 11288   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  19729  aaliou3lem9  19730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator