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Theorem aaliou3lem6 20267
Description: Lemma for aaliou3 20270. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 12497 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . . 4  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 12483 . . . 4  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5808 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
65oveq1d 6098 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
7 fzfid 11314 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
8 2rp 10619 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
9 nnnn0 10230 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
10 faccl 11578 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
1211nnzd 10376 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
13 rpexpcl 11402 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
148, 12, 13sylancr 646 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
1514rpcnd 10652 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  CC )
16 elfznn 11082 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
17 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9302 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 aaliou3lem.c . . . . . . . 8  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
21 ovex 6108 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5808 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2423adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^ -u ( ! `  b )
) )
2516adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
2625nnnn0d 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN0 )
27 faccl 11578 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2928nnzd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
3029znegcld 10379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
31 rpexpcl 11402 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
328, 30, 31sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  RR+ )
3332rpcnd 10652 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  CC )
3424, 33eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
357, 15, 34fsummulc1 12570 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  = 
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
3624oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
3712adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
38 rpcnne0 10631 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
398, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
40 expaddz 11426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `
 A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
4139, 40mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
4230, 37, 41syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
43 2z 10314 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
4430zcnd 10378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  CC )
4537zcnd 10378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  CC )
4644, 45addcomd 9270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  +  -u ( ! `  b ) ) )
4728nncnd 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  CC )
4845, 47negsubd 9419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  + 
-u ( ! `  b ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
4946, 48eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
509adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  A  e.  NN0 )
51 elfzle2 11063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  <_  A )
5251adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  <_  A
)
53 facwordi 11582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  NN0  /\  b  <_  A )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A
) )
5426, 50, 52, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )
)
5528nnnn0d 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN0 )
5650, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
5756nnnn0d 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN0 )
58 nn0sub 10272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  b
)  e.  NN0  /\  ( ! `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )  <->  ( ( ! `  A
)  -  ( ! `
 b ) )  e.  NN0 ) )
5955, 57, 58syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 b )  <_ 
( ! `  A
)  <->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
)
6054, 59mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
6149, 60eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e. 
NN0 )
62 zexpcl 11398 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  e.  ZZ )
6343, 61, 62sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6442, 63eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6536, 64eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
667, 65fsumzcl 12531 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
6735, 66eqeltrd 2512 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
686, 67eqeltrd 2512 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   RR+crp 10614   ...cfz 11045   ^cexp 11384   !cfa 11568   sum_csu 12481
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  20269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482
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