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Theorem aaliou3lem7 20267
Description: Lemma for aaliou3 20269. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10013 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) 
|->  ( ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )
3 aaliou3lem.c . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
42, 3aaliou3lem3 20262 . . 3  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (  seq  ( A  +  1 ) (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
5 3simpc 957 . . 3  |-  ( (  seq  ( A  + 
1 ) (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 4, 53syl 19 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
7 nncn 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
8 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
9 pncan 9312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
107, 8, 9sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
1110oveq2d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... A
) )
1211sumeq1d 12496 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... (
( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
1312oveq1d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) ) )
14 nnuz 10522 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) )
16 eqidd 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  =  ( F `
 b ) )
17 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 ovex 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2119, 3, 20fvmpt 5807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
22 2rp 10618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
23 nnnn0 10229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
24 faccl 11577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2625nnzd 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2726znegcld 10378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
28 rpexpcl 11401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2922, 27, 28sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
3029rpcnd 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  CC )
3121, 30eqeltrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  CC )
3231adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  e.  CC )
33 1nn 10012 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
34 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 1 ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  1 ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  1 )  |->  ( ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  1 ) ) ) )
3534, 3aaliou3lem3 20262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) ) ) ) )
3635simp1d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3733, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 12621 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
39 oveq2 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
4039sumeq1d 12496 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
42 sumex 12482 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
4443oveq1d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
4513, 38, 443eqtr4rd 2480 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
)
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
4745, 46syl6eqr 2487 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  L )
483, 46, 41aaliou3lem4 20264 . . . . . . . . 9  |-  L  e.  RR
4948recni 9103 . . . . . . . 8  |-  L  e.  CC
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  L  e.  CC )
513, 46, 41aaliou3lem5 20265 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
5251recnd 9115 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  CC )
534simp2d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
541, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
5554rpcnd 10651 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  CC )
5650, 52, 55subaddd 9430 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( L  -  ( H `  A )
)  =  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <->  ( ( H `
 A )  + 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  L ) )
5747, 56mpbird 225 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  = 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )
5857eqcomd 2442 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  =  ( L  -  ( H `  A ) ) )
59 eleq1 2497 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+ 
<->  ( L  -  ( H `  A )
)  e.  RR+ )
)
60 breq1 4216 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
6159, 60anbi12d 693 . . . 4  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6258, 61syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6351adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  e.  RR )
64 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
65 difrp 10646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( H `  A
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( H `  A )  <  L  <->  ( L  -  ( H `
 A ) )  e.  RR+ ) )
6663, 48, 65sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  < 
L  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
)
6764, 66mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  <  L
)
6863, 67ltned 9210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  =/=  L
)
69 nnnn0 10229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
70 faccl 11577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( A  + 
1 ) )  e.  NN )
711, 69, 703syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  NN )
7271nnzd 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
7372znegcld 10378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
74 rpexpcl 11401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
7522, 73, 74sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
76 rpmulcl 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7722, 75, 76sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7877adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7978rpred 10649 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8063, 79resubcld 9466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
8148a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
8263, 78ltsubrpd 10677 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
( H `  A
) )
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 9232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
L )
8480, 81, 83ltled 9222 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L )
85 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )
8681, 63, 79lesubadd2d 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  L  <_  ( ( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
8785, 86mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
8881, 63, 79absdifled 12238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( ( H `  A )  -  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L  /\  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) ) )
8984, 87, 88mpbir2and 890 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )
9068, 89jca 520 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  =/= 
L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) )
9190ex 425 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) ) )
9262, 91sylbid 208 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
936, 92mpd 15 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   dom cdm 4879   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   NNcn 10001   2c2 10050   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   RR+crp 10613   ...cfz 11044    seq cseq 11324   ^cexp 11383   !cfa 11567   abscabs 12040    ~~> cli 12279   sum_csu 12480
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  20268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481
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