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Theorem aaliou3lem8 19725
Description: Lemma for aaliou3 19731. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 10359 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 rpdivcl 10376 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
2  /  B )  e.  RR+ )
31, 2mpan 651 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( 2  /  B )  e.  RR+ )
43rpred 10390 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( 2  /  B )  e.  RR )
5 2re 9815 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 1lt2 9886 . . . . 5  |-  1  <  2
7 expnbnd 11230 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  /  B
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
85, 6, 7mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( ( 2  /  B )  e.  RR  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
94, 8syl 15 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
109adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) )
11 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  NN )
12 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  NN )
13 nnaddm1cl 10073 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( a  +  A )  -  1 )  e.  NN )
1411, 12, 13syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  1 )  e.  NN )
15 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
16 rerpdivcl 10381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  B
)  e.  RR )
175, 15, 16sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  e.  RR )
1811nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  NN0 )
19 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ a
)  e.  RR )
205, 18, 19sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ a )  e.  RR )
2111, 12nnaddcld 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( a  +  A )  e.  NN )
22 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  +  A )  e.  NN  ->  (
( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  1 )  e. 
NN0 )
24 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
26 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  e.  NN )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  NN )
2827nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
29 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  e.  NN )
3023, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  NN )
3130nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  ZZ )
3212nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
3331, 32zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  A )  e.  ZZ )
3428, 33zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )
35 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR+ )
361, 34, 35sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  e.  RR+ )
3736rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  e.  RR )
38 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  < 
( 2 ^ a
) )
3917, 20, 38ltled 8967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( 2 ^ a
) )
405a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  e.  RR )
41 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
4241, 5, 6ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  2
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  <_  2 )
4411nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  RR )
4530nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  RR )
4618nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  0  <_  a )
4730nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  <_  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )
4844, 45, 46, 47lemulge12d 9695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  <_  ( ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  a ) )
49 facp1 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )
5023, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )
5150oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) ) )
5230nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  CC )
5325nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e.  CC )
5412nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  CC )
5552, 53, 54subdid 9235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) ) )
5651, 55eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  (
( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 )  -  A ) ) )
5721nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( a  +  A )  e.  CC )
58 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  e.  CC )
6057, 59npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  =  ( a  +  A
) )
6160oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  -  A )  =  ( ( a  +  A )  -  A
) )
6211nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  CC )
6362, 54pncand 9158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  A )  =  a )
6461, 63eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  -  A )  =  a )
6564oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  a
) )
6656, 65eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  a
) )
6748, 66breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  <_  ( ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )
6811nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
69 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ! `  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a )  <->  a  <_  ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )
7068, 34, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a
)  <->  a  <_  (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
7167, 70mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a )
)
7240, 43, 71leexp2ad 11277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ a )  <_ 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
7317, 20, 37, 39, 72letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
74 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
751, 74mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
76 expsub 11149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( 2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )
7775, 28, 33, 76syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  (
2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
78 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  e.  CC )
8012nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  NN0 )
8130nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  NN0 )
8279, 80, 81expmuld 11248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( 2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )
84 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
851, 28, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
8685rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
87 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
881, 31, 87sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
8988, 32rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  e.  RR+ )
9089rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  e.  CC )
9189rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  =/=  0 )
9286, 90, 91divrecd 9539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
9377, 83, 923eqtrrd 2320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  =  ( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
9473, 93breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
9589rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  e.  RR+ )
9685, 95rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  e.  RR+ )
9796rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  e.  RR )
9840, 97, 15ledivmuld 10439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2  /  B )  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  <->  2  <_  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) ) )
9994, 98mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  <_  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10015rpcnd 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  B  e.  CC )
10195rpcnd 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  e.  CC )
102100, 86, 101mul12d 9021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10399, 102breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10415, 95rpmulcld 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  e.  RR+ )
105104rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  e.  RR )
10640, 105, 85ledivmuld 10439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2  /  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  <->  2  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) ) )
107103, 106mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( B  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
10827nnnn0d 10018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  NN0 )
109 expneg 11111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ! `  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
11078, 108, 109sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
111110oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
11285rpne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
11379, 86, 112divrecd 9539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
114111, 113eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
115100, 90, 91divrecd 9539 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  =  ( B  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
116107, 114, 1153brtr4d 4053 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )
117 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )
118117fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )
119118negeqd 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  -u ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  -u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )
120119oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) )  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
121120oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( x  + 
1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) ) )
122 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )
123122oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2 ^ ( ! `
 x ) )  =  ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) )
124123oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  x )
) ^ A )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )
125124oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) )  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )
126121, 125breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) )  <->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) )
127126rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  +  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
12814, 116, 127syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
129128exp32 588 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( a  e.  NN  ->  ( ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) ) ) )
130129rexlimdv 2666 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) ) )
13110, 130mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ^cexp 11104   !cfa 11288
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  19730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289
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