Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Structured version   Unicode version

Theorem aalioulem1 20241
 Description: Lemma for aaliou 20247. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a Poly
aalioulem1.b
aalioulem1.c
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 deg

Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 Poly
2 aalioulem1.b . . . . . . 7
32zcnd 10368 . . . . . 6
4 aalioulem1.c . . . . . . 7
54nncnd 10008 . . . . . 6
64nnne0d 10036 . . . . . 6
73, 5, 6divcld 9782 . . . . 5
8 eqid 2435 . . . . . 6 coeff coeff
9 eqid 2435 . . . . . 6 deg deg
108, 9coeid2 20150 . . . . 5 Poly degcoeff
111, 7, 10syl2anc 643 . . . 4 degcoeff
1211oveq1d 6088 . . 3 deg degcoeff deg
13 fzfid 11304 . . . 4 deg
14 dgrcl 20144 . . . . . 6 Poly deg
151, 14syl 16 . . . . 5 deg
165, 15expcld 11515 . . . 4 deg
17 0z 10285 . . . . . . . 8
188coef2 20142 . . . . . . . 8 Poly coeff
191, 17, 18sylancl 644 . . . . . . 7 coeff
20 elfznn0 11075 . . . . . . 7 deg
21 ffvelrn 5860 . . . . . . 7 coeff coeff
2219, 20, 21syl2an 464 . . . . . 6 deg coeff
2322zcnd 10368 . . . . 5 deg coeff
24 expcl 11391 . . . . . 6
257, 20, 24syl2an 464 . . . . 5 deg
2623, 25mulcld 9100 . . . 4 deg coeff
2713, 16, 26fsummulc1 12560 . . 3 degcoeff deg degcoeff deg
2812, 27eqtrd 2467 . 2 deg degcoeff deg
295adantr 452 . . . . . 6 deg
3015adantr 452 . . . . . 6 deg deg
3129, 30expcld 11515 . . . . 5 deg deg
3223, 25, 31mulassd 9103 . . . 4 deg coeff deg coeff deg
332adantr 452 . . . . . . . . . 10 deg
3433zcnd 10368 . . . . . . . . 9 deg
356adantr 452 . . . . . . . . 9 deg
3620adantl 453 . . . . . . . . 9 deg
3734, 29, 35, 36expdivd 11529 . . . . . . . 8 deg
3837oveq1d 6088 . . . . . . 7 deg deg deg
3934, 36expcld 11515 . . . . . . . 8 deg
40 nnexpcl 11386 . . . . . . . . . 10
414, 20, 40syl2an 464 . . . . . . . . 9 deg
4241nncnd 10008 . . . . . . . 8 deg
4341nnne0d 10036 . . . . . . . 8 deg
4439, 42, 31, 43div13d 9806 . . . . . . 7 deg deg deg
4538, 44eqtrd 2467 . . . . . 6 deg deg deg
46 elfzelz 11051 . . . . . . . . . 10 deg
4746adantl 453 . . . . . . . . 9 deg
4830nn0zd 10365 . . . . . . . . 9 deg deg
4929, 35, 47, 48expsubd 11526 . . . . . . . 8 deg deg deg
504adantr 452 . . . . . . . . . 10 deg
5150nnzd 10366 . . . . . . . . 9 deg
52 fznn0sub 11077 . . . . . . . . . 10 deg deg
5352adantl 453 . . . . . . . . 9 deg deg
54 zexpcl 11388 . . . . . . . . 9 deg deg
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . 8 deg deg
5649, 55eqeltrrd 2510 . . . . . . 7 deg deg
57 zexpcl 11388 . . . . . . . 8
582, 20, 57syl2an 464 . . . . . . 7 deg
5956, 58zmulcld 10373 . . . . . 6 deg deg
6045, 59eqeltrd 2509 . . . . 5 deg deg
6122, 60zmulcld 10373 . . . 4 deg coeff deg
6232, 61eqeltrd 2509 . . 3 deg coeff deg
6313, 62fsumzcl 12521 . 2 degcoeff deg
6428, 63eqeltrd 2509 1 deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982   cmul 8987   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cfz 11035  cexp 11374  csu 12471  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  aalioulem4  20244 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
 Copyright terms: Public domain W3C validator