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Theorem aalioulem2 19811
Description: Lemma for aaliou 19816. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
aalioulem2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q
Allowed substitution hints:    N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2
Dummy variables  r 
a  b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10447 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
2 snssi 3838 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  { 1 }  C_  RR+ )
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  RR+
4 ssrab2 3334 . . . . . 6  |-  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  RR+
53, 4unssi 3426 . . . . 5  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR+
6 ltso 8990 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
7 cnvso 5293 . . . . . . . 8  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
86, 7mpbi 199 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  RR )
10 snfi 7026 . . . . . . 7  |-  { 1 }  e.  Fin
11 aalioulem2.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
12 aalioulem2.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1312nnne0d 9877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
14 aalioulem2.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  (deg `  F )
1514eqcomi 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg `  F )  =  N
16 dgr0 19741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
1713, 15, 163netr4g 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  =/=  (deg `  0 p
) )
18 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
1918necon3i 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (deg
`  F )  =/=  (deg `  0 p
)  ->  F  =/=  0 p )
2017, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =/=  0 p )
21 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " { 0 } )  =  ( `' F " { 0 } )
2221fta1 19786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  ZZ )  /\  F  =/=  0 p )  -> 
( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' F " { 0 } ) )  <_  (deg `  F
) ) )
2311, 20, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' F " { 0 } ) )  <_  (deg `  F
) ) )
2423simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F " { 0 } )  e.  Fin )
25 abrexfi 7243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  ->  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin )
2624, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin )
27 rabssab 3335 . . . . . . . 8  |-  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }
28 ssfi 7168 . . . . . . . 8  |-  ( ( { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) } )  ->  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }  e.  Fin )
2926, 27, 28sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }  e.  Fin )
30 unfi 7211 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1 }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  e.  Fin )  ->  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  e.  Fin )
3110, 29, 30sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  e.  Fin )
32 1ex 8920 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3332snid 3743 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 }
34 elun1 3418 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { 1 }  ->  1  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
35 ne0i 3537 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  =/=  (/) )
3633, 34, 35mp2b 9 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  =/=  (/)
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  =/=  (/) )
38 rpssre 10453 . . . . . . . 8  |-  RR+  C_  RR
395, 38sstri 3264 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR
4039a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) 
C_  RR )
41 fisupcl 7305 . . . . . 6  |-  ( ( `'  <  Or  RR  /\  ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  e.  Fin  /\  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  =/=  (/)  /\  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) )
429, 31, 37, 40, 41syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) )
435, 42sseldi 3254 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
4439a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR )
45 0re 8925 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
46 rpge0 10455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  RR+  ->  0  <_ 
d )
4746rgen 2684 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. d  e.  RR+  0  <_  d
48 breq1 4105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  0  ->  (
c  <_  d  <->  0  <_  d ) )
4948ralbidv 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  0  ->  ( A. d  e.  RR+  c  <_  d  <->  A. d  e.  RR+  0  <_  d ) )
5049rspcev 2960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. d  e.  RR+  0  <_  d )  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_  d )
5145, 47, 50mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_  d
52 ssralv 3313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  c  <_  d  ->  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
)
535, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. d  e.  RR+  c  <_ 
d  ->  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
5453reximi 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_ 
d  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
5551, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d
5655a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
57 aalioulem2.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5857ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  A  e.  RR )
59 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  RR )
6058, 59resubcld 9298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
6160recnd 8948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
6257ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
6362recnd 8948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
64 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
r  e.  RR )
6564recnd 8948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
r  e.  CC )
66 subeq0 9160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( A  -  r )  =  0  <-> 
A  =  r ) )
6763, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( ( A  -  r )  =  0  <-> 
A  =  r ) )
6867necon3abid 2554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( ( A  -  r )  =/=  0  <->  -.  A  =  r ) )
6968biimprd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( -.  A  =  r  ->  ( A  -  r )  =/=  0 ) )
7069impr 602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  =/=  0 )
7161, 70absrpcld 12020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  RR+ )
7259recnd 8948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  CC )
73 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( F `  r )  =  0 )
74 plyf 19678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
7511, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
76 ffn 5469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  Fn  CC )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  CC )
7877ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  F  Fn  CC )
79 fniniseg 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  CC  ->  (
r  e.  ( `' F " { 0 } )  <->  ( r  e.  CC  /\  ( F `
 r )  =  0 ) ) )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  (
r  e.  ( `' F " { 0 } )  <->  ( r  e.  CC  /\  ( F `
 r )  =  0 ) ) )
8172, 73, 80mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  ( `' F " { 0 } ) )
82 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) )
83 oveq2 5950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  r  ->  ( A  -  b )  =  ( A  -  r ) )
8483fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( A  -  b ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )
8584eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) )  <->  ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
8685rspcev 2960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  ( `' F " { 0 } )  /\  ( abs `  ( A  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )  ->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) )
8781, 82, 86sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) )
88 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( abs `  ( A  -  r )
)  ->  ( a  =  ( abs `  ( A  -  b )
)  <->  ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) ) )
8988rexbidv 2640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( abs `  ( A  -  r )
)  ->  ( E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) )  <->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) ) )
9089elrab 2999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  <->  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  RR+  /\  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) ) )
9171, 87, 90sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e. 
{ a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) } )
92 elun2 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) )
94 infmrlb 9822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) 
C_  RR  /\  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d  /\  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )  ->  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) )
9544, 56, 93, 94syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) )
9695expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( -.  A  =  r  ->  sup (
( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
9796orrd 367 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
9897ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
9998ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup (
( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
100 breq1 4105 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  sup (
( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
101100orbi2d 682 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
102101imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
103102ralbidv 2639 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
104103rspcev 2960 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
10543, 99, 104syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
106 znq 10409 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
107 qre 10410 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
108106, 107syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
109 fveq2 5605 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( F `  r )  =  ( F `  ( p  /  q
) ) )
110109eqeq1d 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( F `  r
)  =  0  <->  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 ) )
111 eqeq2 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  =  r  <->  A  =  ( p  /  q
) ) )
112 oveq2 5950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  -  r )  =  ( A  -  ( p  /  q
) ) )
113112fveq2d 5609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
114113breq2d 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
x  <_  ( abs `  ( A  -  r
) )  <->  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) ) )
115111, 114orbi12d 690 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  <-> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
116110, 115imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
117116rspcv 2956 . . . . . . 7  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  ( A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
118108, 117syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
119118com12 27 . . . . 5  |-  ( A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
120119ralrimivv 2710 . . . 4  |-  ( A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
121120reximi 2726 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
122105, 121syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
123 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR+ )
124 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  NN )
12512nnnn0d 10107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
126125ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN0 )
127124, 126nnexpcld 11356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  NN )
128127nnrpd 10478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
129123, 128rpdivcld 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
130129rpred 10479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
131130adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
132 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
133132rpred 10479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
13457ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  A  e.  RR )
135108adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
136134, 135resubcld 9298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
137136recnd 8948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
138137abscld 12008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
139138adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR )
140 rpre 10449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
141140ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR )
142123rpcnne0d 10488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
143 divid 9538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
145127nnge1d 9875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  <_  ( q ^ N ) )
146144, 145eqbrtrd 4122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  x )  <_  (
q ^ N ) )
147141, 123, 128, 146lediv23d 10536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_  x )
148147adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  x )
149 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
150131, 133, 139, 148, 149letrd 9060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
151150ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
152151orim2d 813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
153152imim2d 48 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
154153anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  p  e.  ZZ )  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
155154ralimdva 2697 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( A. q  e.  NN  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. q  e.  NN  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
156155ralimdva 2697 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
157156reximdva 2731 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
158122, 157mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623    u. cun 3226    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   class class class wbr 4102    Or wor 4392   `'ccnv 4767   "cima 4771    Fn wfn 5329   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Fincfn 6948   supcsup 7280   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124    / cdiv 9510   NNcn 9833   NN0cn0 10054   ZZcz 10113   QQcq 10405   RR+crp 10443   ^cexp 11194   #chash 11427   abscabs 11809   0 pc0p 19122  Polycply 19664  degcdgr 19667
This theorem is referenced by:  aalioulem6  19815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-0p 19123  df-ply 19668  df-idp 19669  df-coe 19670  df-dgr 19671  df-quot 19769
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