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Theorem aalioulem6 20254
Description: Lemma for aaliou 20255. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q    x, N
Allowed substitution hints:    N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem6
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . . 4  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
51, 2, 3, 4aalioulem2 20250 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6 aalioulem3.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
71, 2, 3, 4, 6aalioulem5 20253 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
8 reeanv 2875 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
95, 7, 8sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
10 r19.26-2 2839 . . . 4  |-  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  <-> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
11 ifcl 3775 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
1211adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
13 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =  0 )
1411ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR+ )
15 nnrp 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR+ )
1615ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  q  e.  RR+ )
173ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
1817nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
1916, 18rpexpcld 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
2014, 19rpdivcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2120rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
22 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR+ )
2322, 19rpdivcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2423rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
254ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  RR )
26 znq 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
27 qre 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
2928adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
3130recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
3231abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
3321, 24, 323jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
3514rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR )
3622rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR )
37 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR+ )
3837rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR )
39 min1 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
4036, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  a )
4135, 36, 19, 40lediv1dd 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) ) )
4241anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( a  /  (
q ^ N ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
43 letr 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) )  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4434, 42, 43sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
4544ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
4746orim2d 814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
4813, 47embantd 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
4948adantrd 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
50 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0 )
5137, 19rpdivcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
5251rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
5321, 52, 323jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
55 min2 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
5636, 38, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  b )
5735, 38, 19, 56lediv1dd 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) ) )
5857anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( b  /  (
q ^ N ) )  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
59 letr 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) )  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6054, 58, 59sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
6160ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6362orim2d 814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6450, 63embantd 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6564adantld 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6649, 65pm2.61dane 2682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6766anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  p  e.  ZZ )  /\  q  e.  NN )  ->  (
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6867ralimdva 2784 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  A. q  e.  NN  ( A  =  (
p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6968ralimdva 2784 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
70 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( x  /  (
q ^ N ) )  =  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) ) )
7170breq1d 4222 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7271orbi2d 683 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
73722ralbidv 2747 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7473rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7512, 69, 74ee12an 1372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7610, 75syl5bir 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7776rexlimdvva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
789, 77mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   ifcif 3739   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282   QQcq 10574   RR+crp 10612   ^cexp 11382   abscabs 12039  Polycply 20103  degcdgr 20106
This theorem is referenced by:  aaliou  20255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-0p 19562  df-limc 19753  df-dv 19754  df-dvn 19755  df-cpn 19756  df-ply 20107  df-idp 20108  df-coe 20109  df-dgr 20110  df-quot 20208
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