MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Unicode version

Theorem aannenlem3 20114
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0 p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
Assertion
Ref Expression
aannenlem3  |-  AA  ~~  NN
Distinct variable group:    a, b, c, d, e
Allowed substitution hints:    H( e, a, b, c, d)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnso 12773 . . . 4  |-  E. f 
f  Or  CC
2 aannenlem.a . . . . . . 7  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0 p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
32aannenlem2 20113 . . . . . 6  |-  AA  =  U. ran  H
4 omelon 7534 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
5 nn0ennn 11245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  ~~  NN
6 nnenom 11246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
75, 6entri 7097 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  ~~  om
87ensymi 7093 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN0
9 isnumi 7766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN0 )  ->  NN0  e.  dom  card )
104, 8, 9mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  dom  card
11 cnex 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
1211rabex 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  { b  e.  CC  |  E. c  e.  { d  e.  (Poly `  ZZ )  |  ( d  =/=  0 p  /\  (deg `  d )  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 }  e.  _V
1312, 2fnmpti 5513 . . . . . . . . . . 11  |-  H  Fn  NN0
14 dffn4 5599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  <->  H : NN0 -onto-> ran  H )
1513, 14mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  H : NN0 -onto-> ran  H
16 fodomnum 7871 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
e.  dom  card  ->  ( H : NN0 -onto-> ran  H  ->  ran  H  ~<_  NN0 )
)
1710, 15, 16mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  ran  H  ~<_  NN0
18 domentr 7102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  ~<_  NN0  /\  NN0  ~~  om )  ->  ran  H  ~<_  om )
1917, 7, 18mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ran  H  ~<_  om
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H  ~<_  om )
21 fvelrnb 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  ->  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f ) )
2213, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f )
232aannenlem1 20112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( H `
 g )  e. 
Fin )
24 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  g )  =  f  ->  (
( H `  g
)  e.  Fin  <->  f  e.  Fin ) )
2523, 24syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( ( H `  g )  =  f  ->  f  e.  Fin ) )
2625rexlimiv 2767 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f  ->  f  e. 
Fin )
2722, 26sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ran  H  -> 
f  e.  Fin )
2827ssriv 3295 . . . . . . . 8  |-  ran  H  C_ 
Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H 
C_  Fin )
30 aasscn 20102 . . . . . . . . 9  |-  AA  C_  CC
313, 30eqsstr3i 3322 . . . . . . . 8  |-  U. ran  H 
C_  CC
32 soss 4462 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  H  C_  CC  ->  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H
) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H )
34 iunfictbso 7928 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  H  ~<_  om  /\  ran  H  C_  Fin  /\  f  Or  U. ran  H )  ->  U. ran  H  ~<_  om )
3520, 29, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( f  Or  CC  ->  U. ran  H  ~<_  om )
363, 35syl5eqbr 4186 . . . . 5  |-  ( f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
3736exlimiv 1641 . . . 4  |-  ( E. f  f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
381, 37ax-mp 8 . . 3  |-  AA  ~<_  om
396ensymi 7093 . . 3  |-  om  ~~  NN
40 domentr 7102 . . 3  |-  ( ( AA  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  AA  ~<_  NN )
4138, 39, 40mp2an 654 . 2  |-  AA  ~<_  NN
4211, 30ssexi 4289 . . 3  |-  AA  e.  _V
43 nnssq 10515 . . . 4  |-  NN  C_  QQ
44 qssaa 20108 . . . 4  |-  QQ  C_  AA
4543, 44sstri 3300 . . 3  |-  NN  C_  AA
46 ssdomg 7089 . . 3  |-  ( AA  e.  _V  ->  ( NN  C_  AA  ->  NN  ~<_  AA ) )
4742, 45, 46mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  AA
48 sbth 7163 . 2  |-  ( ( AA  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  AA )  ->  AA  ~~  NN )
4941, 47, 48mp2an 654 1  |-  AA  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    Or wor 4443   Oncon0 4522   omcom 4785   dom cdm 4818   ran crn 4819    Fn wfn 5389   -onto->wfo 5392   ` cfv 5394    ~~ cen 7042    ~<_ cdom 7043   Fincfn 7045   cardccrd 7755   CCcc 8921   0cc0 8923    <_ cle 9054   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   QQcq 10506   abscabs 11966   0 pc0p 19428  Polycply 19970  coeffccoe 19972  degcdgr 19973   AAcaa 20098
This theorem is referenced by:  aannen  20115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-0p 19429  df-ply 19974  df-idp 19975  df-coe 19976  df-dgr 19977  df-quot 20075  df-aa 20099
  Copyright terms: Public domain W3C validator