MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Unicode version

Theorem aannenlem3 19710
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0 p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
Assertion
Ref Expression
aannenlem3  |-  AA  ~~  NN
Distinct variable group:    a, b, c, d, e
Allowed substitution hints:    H( e, a, b, c, d)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnso 12525 . . . 4  |-  E. f 
f  Or  CC
2 aannenlem.a . . . . . . 7  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0 p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
32aannenlem2 19709 . . . . . 6  |-  AA  =  U. ran  H
4 omelon 7347 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
5 nn0ennn 11041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  ~~  NN
6 nnenom 11042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
75, 6entri 6915 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  ~~  om
87ensymi 6911 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN0
9 isnumi 7579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN0 )  ->  NN0  e.  dom  card )
104, 8, 9mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  dom  card
11 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
1211rabex 4165 . . . . . . . . . . . 12  |-  { b  e.  CC  |  E. c  e.  { d  e.  (Poly `  ZZ )  |  ( d  =/=  0 p  /\  (deg `  d )  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 }  e.  _V
1312, 2fnmpti 5372 . . . . . . . . . . 11  |-  H  Fn  NN0
14 dffn4 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  <->  H : NN0 -onto-> ran  H )
1513, 14mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  H : NN0 -onto-> ran  H
16 fodomnum 7684 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
e.  dom  card  ->  ( H : NN0 -onto-> ran  H  ->  ran  H  ~<_  NN0 )
)
1710, 15, 16mp2 17 . . . . . . . . 9  |-  ran  H  ~<_  NN0
18 domentr 6920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  ~<_  NN0  /\  NN0  ~~  om )  ->  ran  H  ~<_  om )
1917, 7, 18mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ran  H  ~<_  om
2019a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H  ~<_  om )
21 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  ->  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f ) )
2213, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f )
232aannenlem1 19708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( H `
 g )  e. 
Fin )
24 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  g )  =  f  ->  (
( H `  g
)  e.  Fin  <->  f  e.  Fin ) )
2523, 24syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( ( H `  g )  =  f  ->  f  e.  Fin ) )
2625rexlimiv 2661 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f  ->  f  e. 
Fin )
2722, 26sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ran  H  -> 
f  e.  Fin )
2827ssriv 3184 . . . . . . . 8  |-  ran  H  C_ 
Fin
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H 
C_  Fin )
30 aasscn 19698 . . . . . . . . 9  |-  AA  C_  CC
313, 30eqsstr3i 3209 . . . . . . . 8  |-  U. ran  H 
C_  CC
32 soss 4332 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  H  C_  CC  ->  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H
) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H )
34 iunfictbso 7741 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  H  ~<_  om  /\  ran  H  C_  Fin  /\  f  Or  U. ran  H )  ->  U. ran  H  ~<_  om )
3520, 29, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( f  Or  CC  ->  U. ran  H  ~<_  om )
363, 35syl5eqbr 4056 . . . . 5  |-  ( f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
3736exlimiv 1666 . . . 4  |-  ( E. f  f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
381, 37ax-mp 8 . . 3  |-  AA  ~<_  om
396ensymi 6911 . . 3  |-  om  ~~  NN
40 domentr 6920 . . 3  |-  ( ( AA  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  AA  ~<_  NN )
4138, 39, 40mp2an 653 . 2  |-  AA  ~<_  NN
4211, 30ssexi 4159 . . 3  |-  AA  e.  _V
43 nnssq 10325 . . . 4  |-  NN  C_  QQ
44 qssaa 19704 . . . 4  |-  QQ  C_  AA
4543, 44sstri 3188 . . 3  |-  NN  C_  AA
46 ssdomg 6907 . . 3  |-  ( AA  e.  _V  ->  ( NN  C_  AA  ->  NN  ~<_  AA ) )
4742, 45, 46mp2 17 . 2  |-  NN  ~<_  AA
48 sbth 6981 . 2  |-  ( ( AA  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  AA )  ->  AA  ~~  NN )
4941, 47, 48mp2an 653 1  |-  AA  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313   Oncon0 4392   omcom 4656   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   cardccrd 7568   CCcc 8735   0cc0 8737    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   QQcq 10316   abscabs 11719   0 pc0p 19024  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569   AAcaa 19694
This theorem is referenced by:  aannen  19711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-quot 19671  df-aa 19695
  Copyright terms: Public domain W3C validator