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Theorem aareccl 19722
 Description: The reciprocal of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
aareccl

Proof of Theorem aareccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elaa 19712 . . . 4 Poly
21simprbi 450 . . 3 Poly
4 aacn 19713 . . . . . . 7
5 reccl 9447 . . . . . . 7
64, 5sylan 457 . . . . . 6
76adantr 451 . . . . 5 Poly
8 zsscn 10048 . . . . . . . . 9
98a1i 10 . . . . . . . 8 Poly
10 simprl 732 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
11 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
1210, 11sylib 188 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
1312simpld 445 . . . . . . . . 9 Poly Poly
14 dgrcl 19631 . . . . . . . . 9 Poly deg
1513, 14syl 15 . . . . . . . 8 Poly deg
1613adantr 451 . . . . . . . . . 10 Poly deg Poly
17 0z 10051 . . . . . . . . . 10
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
1918coef2 19629 . . . . . . . . . 10 Poly coeff
2016, 17, 19sylancl 643 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff
21 fznn0sub 10840 . . . . . . . . . 10 deg deg
2221adantl 452 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
23 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9 coeff deg coeffdeg
2420, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . 8 Poly deg coeffdeg
259, 15, 24elplyd 19600 . . . . . . 7 Poly degcoeffdeg Poly
26 0cn 8847 . . . . . . . 8
27 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12 coeff degcoeffdeg coeff degcoeffdeg
2827coefv0 19645 . . . . . . . . . . 11 degcoeffdeg Poly degcoeffdeg coeff degcoeffdeg
2925, 28syl 15 . . . . . . . . . 10 Poly degcoeffdeg coeff degcoeffdeg
3024zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeffdeg
31 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12 Poly degcoeffdeg degcoeffdeg
3225, 15, 30, 31coeeq2 19640 . . . . . . . . . . 11 Poly coeff degcoeffdeg deg coeffdeg
3332fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10 Poly coeff degcoeffdeg deg coeffdeg
34 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . 12
35 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
36 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14 coeffdeg coeffdeg
38 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14
3935, 37, 38ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeffdeg deg coeffdeg
40 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeffdeg deg coeffdeg
41 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14 coeffdeg
42 c0ex 8848 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42ifex 3636 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeffdeg
4439, 40, 43fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12 deg coeffdeg deg coeffdeg
4534, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 deg coeffdeg deg coeffdeg
4615nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
47 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg coeffdeg coeffdeg
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeffdeg coeffdeg
4915nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
5049subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg deg
5150fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeffdeg coeffdeg
5248, 51eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11 Poly deg coeffdeg coeffdeg
5345, 52syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeffdeg coeffdeg
5429, 33, 533eqtrd 2332 . . . . . . . . 9 Poly degcoeffdeg coeffdeg
5512simprd 449 . . . . . . . . . 10 Poly
56 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
5756, 18dgreq0 19662 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeffdeg
5813, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11 Poly coeffdeg
5958necon3bid 2494 . . . . . . . . . 10 Poly coeffdeg
6055, 59mpbid 201 . . . . . . . . 9 Poly coeffdeg
6154, 60eqnetrd 2477 . . . . . . . 8 Poly degcoeffdeg
62 ne0p 19605 . . . . . . . 8 degcoeffdeg degcoeffdeg
6326, 61, 62sylancr 644 . . . . . . 7 Poly degcoeffdeg
64 eldifsn 3762 . . . . . . 7 degcoeffdeg Poly degcoeffdeg Poly degcoeffdeg
6525, 63, 64sylanbrc 645 . . . . . 6 Poly degcoeffdeg Poly
66 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11
6766oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 coeffdeg coeffdeg
6867sumeq2sdv 12193 . . . . . . . . 9 degcoeffdeg degcoeffdeg
69 eqid 2296 . . . . . . . . 9 degcoeffdeg degcoeffdeg
70 sumex 12176 . . . . . . . . 9 degcoeffdeg
7168, 69, 70fvmpt 5618 . . . . . . . 8 degcoeffdeg degcoeffdeg
727, 71syl 15 . . . . . . 7 Poly degcoeffdeg degcoeffdeg
7318coef3 19630 . . . . . . . . . . . . 13 Poly coeff
7413, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeff
75 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . 12 deg
76 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
7774, 75, 76syl2an 463 . . . . . . . . . . 11 Poly deg coeff
784ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 Poly
79 expcl 11137 . . . . . . . . . . . 12
8078, 75, 79syl2an 463 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
8177, 80mulcld 8871 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeff
8278, 15expcld 11261 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
8382adantr 451 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
84 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12 Poly
8515nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
8678, 84, 85expne0d 11267 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
8786adantr 451 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
8881, 83, 87divcld 9552 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff deg
89 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11 deg coeff coeff deg
90 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11 deg deg
9189, 90oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10 deg coeff coeff deg deg
9291oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 deg coeff deg coeff deg deg deg
9388, 92fsumrev2 12260 . . . . . . . 8 Poly degcoeff deg degcoeff deg deg deg
9449adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg deg
9594addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg deg deg
9695oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg deg deg
9796fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeff deg coeffdeg
9896oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg deg deg
9978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
10084adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
101 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
102101adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg
103102nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
10485adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg deg
10599, 100, 103, 104expsubd 11272 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg deg deg
10698, 105eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg deg
10797, 106oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11 Poly deg coeff deg deg coeffdeg deg
108107oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeff deg deg deg coeffdeg deg deg
10982adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg
110 expcl 11137 . . . . . . . . . . . . 13
11178, 101, 110syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
11299, 100, 103expne0d 11267 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
113109, 111, 112divcld 9552 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
11486adantr 451 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
11530, 113, 109, 114divassd 9587 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeffdeg deg deg coeffdeg deg deg
116109, 114dividd 9550 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg deg deg
117116oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg deg
118109, 111, 109, 112, 114divdiv32d 9577 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg deg deg deg
11999, 100, 103exprecd 11269 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
120117, 118, 1193eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg deg
121120oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeffdeg deg deg coeffdeg
122108, 115, 1213eqtrd 2332 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff deg deg deg coeffdeg
123122sumeq2dv 12192 . . . . . . . 8 Poly degcoeff deg deg deg degcoeffdeg
12493, 123eqtrd 2328 . . . . . . 7 Poly degcoeff deg degcoeffdeg
12518, 56coeid2 19637 . . . . . . . . . . 11 Poly degcoeff
12613, 78, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 Poly degcoeff
127 simprr 733 . . . . . . . . . 10 Poly
128126, 127eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9 Poly degcoeff
129128oveq1d 5889 . . . . . . . 8 Poly degcoeff deg deg
130 fzfid 11051 . . . . . . . . 9 Poly deg
131130, 82, 81, 86fsumdivc 12264 . . . . . . . 8 Poly degcoeff deg degcoeff deg
13282, 86div0d 9551 . . . . . . . 8 Poly deg
133129, 131, 1323eqtr3d 2336 . . . . . . 7 Poly degcoeff deg
13472, 124, 1333eqtr2d 2334 . . . . . 6 Poly degcoeffdeg
135 fveq1 5540 . . . . . . . 8 degcoeffdeg degcoeffdeg
136135eqeq1d 2304 . . . . . . 7 degcoeffdeg degcoeffdeg
137136rspcev 2897 . . . . . 6 degcoeffdeg Poly degcoeffdeg Poly
13865, 134, 137syl2anc 642 . . . . 5 Poly Poly
139 elaa 19712 . . . . 5 Poly
1407, 138, 139sylanbrc 645 . . . 4 Poly
141140expr 598 . . 3 Poly
142141rexlimdva 2680 . 2 Poly
1433, 142mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wrex 2557   cdif 3162   wss 3165  cif 3578  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn0 9981  cz 10040  cfz 10798  cexp 11120  csu 12174  c0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585  caa 19710 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-aa 19711
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