Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ab2rexex2g Unicode version

Theorem ab2rexex2g 25132
Description: Existence of an existentially restricted class abstraction.  ph is normally has free-variable parameters  x,  y, and  z. Compare abrexex2g 5768. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ab2rexex2g  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  {
z  |  ph }  e.  _V )  ->  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, B, z    y,
z, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    A( y)

Proof of Theorem ab2rexex2g
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  {
z  |  ph }  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
2 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  A. y  e.  B  { z  |  ph }  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
3 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  A. y  e.  B  { z  |  ph }  e.  _V )  ->  A. y  e.  B  { z  |  ph }  e.  _V )
42, 3jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  A. y  e.  B  { z  |  ph }  e.  _V )  ->  ( B  e.  _V  /\ 
A. y  e.  B  { z  |  ph }  e.  _V )
)
54ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e.  B  { z  | 
ph }  e.  _V  ->  ( B  e.  _V  /\ 
A. y  e.  B  { z  |  ph }  e.  _V )
) )
6 abrexex2g 5768 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. y  e.  B  {
z  |  ph }  e.  _V )  ->  { z  |  E. y  e.  B  ph }  e.  _V )
75, 6syl6 29 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e.  B  { z  | 
ph }  e.  _V  ->  { z  |  E. y  e.  B  ph }  e.  _V ) )
87ralimdv 2622 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  { z  | 
ph }  e.  _V  ->  A. x  e.  A  { z  |  E. y  e.  B  ph }  e.  _V ) )
983impia 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  {
z  |  ph }  e.  _V )  ->  A. x  e.  A  { z  |  E. y  e.  B  ph }  e.  _V )
10 abrexex2g 5768 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  {
z  |  E. y  e.  B  ph }  e.  _V )  ->  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph }  e.  _V )
111, 9, 10syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  {
z  |  ph }  e.  _V )  ->  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788
This theorem is referenced by:  prismorcsetlemb  25913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator