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Theorem abelth 19817
Description: Abel's theorem. If the power series  sum_ n  e.  NN0 A ( n ) ( x ^ n
) is convergent at  1, then it is equal to the limit from "below", along a Stolz angle  S (note that the  M  =  1 case of a Stolz angle is the real line  [ 0 ,  1 ]). (Continuity on  S  \  { 1 } follows more generally from psercn 19802.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelth  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelth
Dummy variables  j  w  y  r  t 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . 4  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 19810 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
81, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem9 19816 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  r ) )
91, 2, 3, 4, 5abelthlem2 19808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
109simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  S )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
1311, 12ovresd 5988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  =  ( 1 ( abs  o.  -  ) y ) )
14 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
15 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
165, 15eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  C_  CC
1716, 12sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1918cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( 1  -  y
) ) )
2014, 17, 19sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  (
1  -  y ) ) )
2113, 20eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  =  ( abs `  ( 1  -  y ) ) )
2221breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) y )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w
) )
237ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  F : S --> CC )
24 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : S --> CC  /\  1  e.  S )  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
2523, 11, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  e.  CC )
267adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : S
--> CC )
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
2826, 27sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
2918cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  CC  /\  ( F `  y )  e.  CC )  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  =  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) ) )
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 y ) )  =  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) ) )
3130breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r  <->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) )
3222, 31imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )  <->  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  r ) ) )
3332ralbidva 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  S  (
( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) y )  <  w  ->  (
( F `  1
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 y ) )  <  r )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) ) )
3433rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) ) )
358, 34mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
)
3635ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
)
37 cnxmet 18282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
38 xmetres2 17925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
3937, 16, 38mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  e.  ( * Met `  S
)
4039a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
4137a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
42 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
43 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4443cnfldtopn 18291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )
4642, 44, 45metrest 18070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  S )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) )
4737, 16, 46mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )
4847, 44metcnp 18087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
)  <->  ( F : S
--> CC  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
) ) )
4940, 41, 10, 48syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  1 )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
) ) )
507, 36, 49mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
5150ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
52 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  -> 
y  =  1 )
5352fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  -> 
( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
5451, 53eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
55 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
569simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
57 abscl 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5958a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  ( abs `  w )  e.  RR ) )
60 absge0 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  w
) )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  0  <_ 
( abs `  w
) )
6261a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  0  <_  ( abs `  w
) ) )
631, 2abelthlem1 19807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6558rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  w )  e.  RR* )
66 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
67 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6866, 67mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  1  e. 
RR* )
69 iccssxr 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
70 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) )
71 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
7270, 1, 71radcnvcl 19793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7369, 72sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
75 xrltletr 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs `  w
)  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )  ->  (
( ( abs `  w
)  <  1  /\  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( abs `  w
)  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7665, 68, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  w
)  <  1  /\  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( abs `  w
)  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7764, 76mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7859, 62, 773jcad 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  (
( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
79 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  CC
8018cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( 0  -  w
) ) )
8179, 80mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  (
0  -  w ) ) )
82 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8379, 82mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  w ) )  =  ( abs `  (
w  -  0 ) ) )
84 subid1 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  -  0 )  =  w )
8584fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  =  ( abs `  w
) )
8681, 83, 853eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  w
) )
8786breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( 0 ( abs 
o.  -  ) w
)  <  1  <->  ( abs `  w )  <  1
) )
8887adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1  <->  ( abs `  w )  <  1
) )
89 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
90 elico2 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( abs `  w
)  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9189, 74, 90sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  e.  ( 0 [,)
sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9278, 88, 913imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1  ->  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9392imdistanda 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 )  ->  (
w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,)
sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
9466, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR*
95 elbl 17949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 ) ) )
9637, 79, 94, 95mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 ) )
97 absf 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  abs : CC
--> RR
98 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
99 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( w  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
10097, 98, 99mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
10193, 96, 1003imtr4g 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  ->  w  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
102101ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) 
C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
10356, 102sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
104 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
1066reseq1i 4951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( ( x  e.  S  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )
107 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
\  { 1 } )  C_  S
108 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  S  ->  ( ( x  e.  S  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
109107, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  S  |->  sum_
n  e.  NN0  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S  \  { 1 } ) 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
110106, 109eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  |`  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( x  e.  ( S  \  {
1 } )  |->  sum_
n  e.  NN0  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) ) )
111105, 110syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) ) )
112 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  C_  dom  abs
11397fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  abs  =  CC
114112, 113sseqtri 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  C_  CC
115114sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  x  e.  CC )
11670pserval2 19787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j )  =  ( ( A `  j )  x.  (
x ^ j ) ) )
117116sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j )  = 
sum_ j  e.  NN0  ( ( A `  j )  x.  (
x ^ j ) ) )
118 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
119 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
j ) )
120118, 119oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 j )  x.  ( x ^ j
) ) )
121120cbvsumv 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( A `  j )  x.  ( x ^
j ) )
122117, 121syl6reqr 2334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  x ) `  j
) )
123115, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sum_ n  e. 
NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  x ) `  j
) )
124123mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j ) )
125 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  =  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
126 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ,  ( ( ( abs `  v
)  +  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  /  2 ) ,  ( ( abs `  v
)  +  1 ) )  =  if ( sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ,  ( ( ( abs `  v
)  +  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  /  2 ) ,  ( ( abs `  v
)  +  1 ) )
12770, 124, 1, 71, 125, 126psercn 19802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) -cn-> CC ) )
128 rescncf 18401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) ) )
129103, 127, 128sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
130111, 129eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
131130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
132107, 16sstri 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
\  { 1 } )  C_  CC
133 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
134 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )
13543cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
13643cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
137136toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
138137restid 13338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
139135, 138ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
140139eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
14143, 134, 140cncfcn 18413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  \  {
1 } )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( S 
\  { 1 } ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
142132, 133, 141mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { 1 } ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
143131, 142syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
144 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
y  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
145 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( S  \  { 1 } )  C_  CC )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  e.  (TopOn `  ( S  \  { 1 } ) ) )
146136, 132, 145mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  e.  (TopOn `  ( S  \  { 1 } ) )
147146toponunii 16670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
\  { 1 } )  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )
148147cncnpi 17007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
149143, 144, 148syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
150 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
151150, 16ssexi 4159 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  e. 
_V
152 restabs 16896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) ) )
153135, 107, 151, 152mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )
154153oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)
155154fveq1i 5526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( S  \  {
1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
156149, 155syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
157 resttop 16891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
158135, 151, 157mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top
159158a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
160107a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  S )
16110snssd 3760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  S )
16243cnfldhaus 18294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
163137sncld 17099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  1  e.  CC )  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
164162, 14, 163mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
165137restcldi 16904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  {
1 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  {
1 }  C_  S
)  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) ) )
16616, 164, 165mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 1 }  C_  S  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
S ) ) )
167137restuni 16893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
168135, 16, 167mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
)
169168cldopn 16768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 1 }  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
S ) )  -> 
( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
170161, 166, 1693syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
171168isopn3 16803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  S )  ->  (
( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  { 1 } ) ) )
172158, 107, 171mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  \  { 1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  { 1 } ) )
173170, 172sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  {
1 } ) )
174173eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  <->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) ) )
175174biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
y  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) ) )
1767adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  ->  F : S --> CC )
177168, 137cnprest 17017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  e.  Top  /\  ( S  \  { 1 } )  C_  S
)  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  /\  F : S --> CC ) )  ->  ( F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
178159, 160, 175, 176, 177syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )  <->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( S  \  {
1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) )
179156, 178mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
18055, 179sylan2br 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  y  =/=  1 ) )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
181180anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =/=  1 )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
18254, 181pm2.61dane 2524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
183182ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
184 resttopon 16892 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
185136, 16, 184mp2an 653 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )
186 cncnp 17009 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  ( F  e.  ( (
( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. y  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) ) ) )
187185, 136, 186mp2an 653 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. y  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) ) )
1887, 183, 187sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
189 eqid 2283 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
19043, 189, 140cncfcn 18413 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( S -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
19116, 133, 190mp2an 653 . 2  |-  ( S
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
192188, 191syl6eleqr 2374 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   NN0cn0 9965   RR+crp 10354   [,)cico 10658   [,]cicc 10659    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   intcnt 16754    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955   Hauscha 17036   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  abelth2  19818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ulm 19756
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