MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem1 Unicode version

Theorem abelthlem1 19807
Description: Lemma for abelth 19817. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
abelthlem1  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    z, n, r, A    ph, n, r
Allowed substitution hint:    ph( z)

Proof of Theorem abelthlem1
StepHypRef Expression
1 abs1 11782 . 2  |-  ( abs `  1 )  =  1
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )
3 abelth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4 eqid 2283 . . 3  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( z  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
65a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
73feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
8 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A `  n
)  e.  CC )
93, 8sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
109mulid1d 8852 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
1110mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
127, 11eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
13 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
z ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
14 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
15 1exp 11131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
1713, 16sylan9eq 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( z ^ n
)  =  1 )
1817oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
1918mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) ) )
20 nn0ex 9971 . . . . . . . . 9  |-  NN0  e.  _V
2120mptex 5746 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  e.  _V
2219, 2, 21fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
235, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
2412, 23syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 ) )
2524seqeq3d 11054 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  =  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 ) ) )
26 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
2725, 26eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 ) )  e.  dom  ~~>  )
282, 3, 4, 6, 27radcnvle 19796 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  1
)  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
291, 28syl5eqbrr 4057 1  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ZZcz 10024    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  abelthlem3  19809  abelth  19817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator