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Theorem abelthlem2 20353
Description: Lemma for abelth 20362. The peculiar region  S, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing  1. Indeed, except for  1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem2  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Distinct variable groups:    z, M    z, A
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 abelth.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
3 ax-1cn 9053 . . . . 5  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  CC )
5 0le0 10086 . . . . 5  |-  0  <_  0
6 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
76recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
87mul01d 9270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( M  x.  0 )  =  0 )
95, 8syl5breqr 4251 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( M  x.  0 ) )
10 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  1 ) )
11 1m1e0 10073 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1210, 11syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  0 )
1312abs00bd 12101 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  0 )
14 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  1
) )
15 abs1 12107 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  1 )  =  1
1614, 15syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  1 )
1716oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1817, 11syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  0 )
1918oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  x.  0 ) )
2013, 19breq12d 4228 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
21 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
2220, 21elrab2 3096 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  CC  /\  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
234, 9, 22sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  S )
24 elsn 3831 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
2524necon3bbii 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  { 1 }  <->  z  =/=  1
)
26 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  CC )
27 0cn 9089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
28 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2928cnmetdval 18810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( z  -  0 ) ) )
3026, 27, 29sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
z  -  0 ) ) )
3126subid1d 9405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
3231fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
0 ) )  =  ( abs `  z
) )
3330, 32eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  z
) )
34 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_ 
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) ) )
35 subcl 9310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( 1  -  z
)  e.  CC )
363, 26, 35sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  CC )
3736abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  e.  RR )
38 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  RR )
39 1re 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
4026abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
41 resubcl 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  z )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4239, 40, 41sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4338, 42remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  e.  RR )
4437, 43lenltd 9224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  -.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
4534, 44mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
468adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
47 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  =/=  1 )
4847necomd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  z )
49 subeq0 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =  0  <->  1  =  z ) )
5049necon3bid 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
513, 26, 50sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
5248, 51mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  =/=  0 )
53 absgt0 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  z )  e.  CC  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5436, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5552, 54mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
5646, 55eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
57 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( 1  -  1 )  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5811, 57syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  0  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5958oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( M  x.  0 )  =  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )
6059breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  <->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
6156, 60syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  =  ( abs `  z )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  < 
( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
6261necon3bd 2640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  ->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
6345, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  ( abs `  z
) )
6439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  RR )
65 resubcl 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6640, 39, 65sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6715oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  1
) )  =  ( ( abs `  z
)  -  1 )
68 abs2dif 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
6926, 3, 68sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
7067, 69syl5eqbrr 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
71 abssub 12135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  1 ) )  =  ( abs `  ( 1  -  z
) ) )
7226, 3, 71sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7370, 72breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7466, 37, 43, 73, 34letrd 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )
7540, 64, 43lesubaddd 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  +  1 ) ) )
7674, 75mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
777adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  CC )
783a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  CC )
7938, 40remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  RR )
8079recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  CC )
8177, 78, 80addsubd 9437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8240recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
8377, 78, 82subdid 9494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8477mulid1d 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
8584oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8683, 85eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8786oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8881, 87eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8976, 88breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  + 
1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
90 peano2re 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9138, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9279, 40, 91leaddsub2d 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) )  <_ 
( M  +  1 )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) ) )
9389, 92mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z
) )  <_  ( M  +  1 ) )
9477, 78, 82adddird 9118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) ) )
9582mulid2d 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  x.  ( abs `  z ) )  =  ( abs `  z
) )
9695oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9794, 96eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9891recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
9998mulid1d 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
10093, 97, 993brtr4d 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) )
101 0re 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  e.  RR )
103 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <_  M )
10438ltp1d 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
105102, 38, 91, 103, 104lelttrd 9233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( M  +  1 ) )
106 lemul2 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( M  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( M  + 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) ) )
10740, 64, 91, 105, 106syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z
) )  <_  (
( M  +  1 )  x.  1 ) ) )
108100, 107mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
1 )
10940, 64, 108leltned 9229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <  1  <->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
11063, 109mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <  1 )
11133, 110eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  <  1 )
112 cnxmet 18812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
113 1rp 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
114 rpxr 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
116 elbl3 18427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
117112, 115, 116mpanl12 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
11827, 26, 117sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
119111, 118mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
120119expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) ) )  -> 
( z  =/=  1  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1211203impb 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  =/=  1  -> 
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12225, 121syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  ( -.  z  e.  { 1 }  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
123122orrd 369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
124 elun 3490 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
125123, 124sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
126125rabssdv 3425 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12721, 126syl5eqss 3394 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  S  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
128 ssundif 3713 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
129127, 128sylib 190 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
13023, 129jca 520 . 2  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1311, 2, 130syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215   dom cdm 4881    o. ccom 4885   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   NN0cn0 10226   RR+crp 10617    seq cseq 11328   abscabs 12044    ~~> cli 12283   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693
This theorem is referenced by:  abelthlem3  20354  abelthlem6  20357  abelthlem7  20359  abelthlem8  20360  abelthlem9  20361  abelth  20362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702
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