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Theorem abelthlem2 19808
Description: Lemma for abelth 19817. The peculiar region  S, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing  1. Indeed, except for  1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem2  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Distinct variable groups:    z, M    z, A
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 abelth.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
3 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
43a1i 10 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  CC )
5 0le0 9827 . . . . 5  |-  0  <_  0
6 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
76recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
87mul01d 9011 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( M  x.  0 )  =  0 )
95, 8syl5breqr 4059 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( M  x.  0 ) )
10 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  1 ) )
11 1m1e0 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1210, 11syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  0 )
1312fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  ( abs `  0
) )
14 abs0 11770 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  0 )
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  1
) )
17 abs1 11782 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  1 )  =  1
1816, 17syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  1 )
1918oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  ( 1  -  1 ) )
2019, 11syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  0 )
2120oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  x.  0 ) )
2215, 21breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
23 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
2422, 23elrab2 2925 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  CC  /\  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
254, 9, 24sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  S )
26 elsn 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
2726necon3bbii 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  { 1 }  <->  z  =/=  1
)
28 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  CC )
29 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( z  -  0 ) ) )
3228, 29, 31sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
z  -  0 ) ) )
3328subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
3433fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
0 ) )  =  ( abs `  z
) )
3532, 34eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  z
) )
36 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_ 
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) ) )
37 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( 1  -  z
)  e.  CC )
383, 28, 37sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  CC )
3938abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  e.  RR )
40 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  RR )
41 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
4228abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
43 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  z )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4441, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4540, 44remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  e.  RR )
4639, 45lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  -.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
4736, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
488adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
49 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  =/=  1 )
5049necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  z )
51 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =  0  <->  1  =  z ) )
5251necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
533, 28, 52sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
5450, 53mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  =/=  0 )
55 absgt0 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  z )  e.  CC  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5638, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5754, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
5848, 57eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
59 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( 1  -  1 )  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
6011, 59syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  0  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
6160oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( M  x.  0 )  =  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )
6261breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  <->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
6358, 62syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  =  ( abs `  z )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  < 
( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
6463necon3bd 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  ->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
6547, 64mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  ( abs `  z
) )
6641a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  RR )
67 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6842, 41, 67sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6917oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  1
) )  =  ( ( abs `  z
)  -  1 )
70 abs2dif 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
7128, 3, 70sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
7269, 71syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
73 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  1 ) )  =  ( abs `  ( 1  -  z
) ) )
7428, 3, 73sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7572, 74breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7668, 39, 45, 75, 36letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )
7742, 66, 45lesubaddd 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  +  1 ) ) )
7876, 77mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
797adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  CC )
803a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  CC )
8140, 42remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  RR )
8281recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  CC )
8379, 80, 82addsubd 9178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8442recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
8579, 80, 84subdid 9235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8679mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
8786oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8885, 87eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8988oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
9083, 89eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
9178, 90breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  + 
1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
92 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9340, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9481, 42, 93leaddsub2d 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) )  <_ 
( M  +  1 )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) ) )
9591, 94mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z
) )  <_  ( M  +  1 ) )
9679, 80, 84adddird 8860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) ) )
9784mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  x.  ( abs `  z ) )  =  ( abs `  z
) )
9897oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9996, 98eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
10093recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
101100mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
10295, 99, 1013brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) )
103 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
104103a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  e.  RR )
105 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <_  M )
10640ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
107104, 40, 93, 105, 106lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( M  +  1 ) )
108 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( M  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( M  + 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) ) )
10942, 66, 93, 107, 108syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z
) )  <_  (
( M  +  1 )  x.  1 ) ) )
110102, 109mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
1 )
11142, 66, 110leltned 8970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <  1  <->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
11265, 111mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <  1 )
11335, 112eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  <  1 )
114 cnxmet 18282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
115 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
116 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
117115, 116ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
118 elbl3 17951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
119114, 117, 118mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
12029, 28, 119sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
121113, 120mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
122121expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) ) )  -> 
( z  =/=  1  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1231223impb 1147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  =/=  1  -> 
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12427, 123syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  ( -.  z  e.  { 1 }  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
125124orrd 367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
126 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
127125, 126sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
128127rabssdv 3253 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12923, 128syl5eqss 3222 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  S  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
130 ssundif 3537 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
131129, 130sylib 188 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
13225, 131jca 518 . 2  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1331, 2, 132syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   RR+crp 10354    seq cseq 11046   abscabs 11719    ~~> cli 11958   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  abelthlem3  19809  abelthlem6  19812  abelthlem7  19814  abelthlem8  19815  abelthlem9  19816  abelth  19817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375
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