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Theorem abelthlem3 20339
Description: Lemma for abelth 20347. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    z, n, M    n, X, z    A, n, z    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 20338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
76simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
8 ssundif 3703 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
97, 8sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( {
1 }  u.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
109sselda 3340 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
11 elun 3480 . . 3  |-  ( X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1210, 11sylib 189 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
131feqmptd 5771 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
141ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
1514mulid1d 9095 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
1615mpteq2dva 4287 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
1713, 16eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
18 elsni 3830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  X  =  1 )
1918oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( X ^
n )  =  ( 1 ^ n ) )
20 nn0z 10294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
21 1exp 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
2319, 22sylan9eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  ( X ^ n )  =  1 )
2423oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
2524mpteq2dva 4287 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
2625eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
2717, 26sylan9eq 2487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
2827seqeq3d 11321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  =  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
292adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e.  dom  ~~>  )
3028, 29eqeltrrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
31 cnxmet 18797 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
32 0cn 9074 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
33 1re 9080 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3433rexri 9127 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
35 blssm 18438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
3631, 32, 34, 35mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
37 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
3836, 37sseldi 3338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  CC )
39 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z ^ n )  =  ( X ^
n ) )
4039oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
( A `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
4140mpteq2dv 4288 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
42 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )
43 nn0ex 10217 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
4443mptex 5958 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) )  e.  _V
4541, 42, 44fvmpt 5798 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
4638, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( (
z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
4746seqeq3d 11321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  =  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
481adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  A : NN0
--> CC )
49 eqid 2435 . . . . 5  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( z  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5038abscld 12228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
5150rexrd 9124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR* )
52 rexr 9120 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
5333, 52mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  e.  RR* )
54 iccssxr 10983 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
5542, 48, 49radcnvcl 20323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5654, 55sseldi 3338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
57 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5857cnmetdval 18795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
5938, 32, 58sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
6038subid1d 9390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  -  0 )  =  X )
6160fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
6259, 61eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  X ) )
63 elbl3 18412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6431, 34, 63mpanl12 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6532, 38, 64sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 ) )
6637, 65mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
)
6762, 66eqbrtrrd 4226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  1
)
681, 2abelthlem1 20337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6968adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7051, 53, 56, 67, 69xrltletrd 10741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7142, 48, 49, 38, 70radcnvlt2 20325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
7247, 71eqeltrrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7330, 72jaodan 761 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7412, 73syldan 457 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    +oocpnf 9107   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   [,]cicc 10909    seq cseq 11313   ^cexp 11372   abscabs 12029    ~~> cli 12268   * Metcxmt 16676   ballcbl 16678
This theorem is referenced by:  abelthlem4  20340  abelthlem9  20346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-xadd 10701  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687
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