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Theorem abelthlem3 19825
Description: Lemma for abelth 19833. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    z, n, M    n, X, z    A, n, z    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 19824 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
76simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
8 ssundif 3550 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
97, 8sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( {
1 }  u.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
109sselda 3193 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
11 elun 3329 . . 3  |-  ( X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1210, 11sylib 188 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
131feqmptd 5591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
14 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A `  n
)  e.  CC )
151, 14sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
1615mulid1d 8868 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
1716mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
1813, 17eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
19 elsni 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  X  =  1 )
2019oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( X ^
n )  =  ( 1 ^ n ) )
21 nn0z 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
22 1exp 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
2420, 23sylan9eq 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  ( X ^ n )  =  1 )
2524oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
2625mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
2726eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
2818, 27sylan9eq 2348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
2928seqeq3d 11070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  =  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
302adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e.  dom  ~~>  )
3129, 30eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
32 cnxmet 18298 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
33 0cn 8847 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
34 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
35 rexr 8893 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
37 blssm 17984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
3832, 33, 36, 37mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
39 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4038, 39sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  CC )
41 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z ^ n )  =  ( X ^
n ) )
4241oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
( A `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
4342mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
44 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )
45 nn0ex 9987 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
4645mptex 5762 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) )  e.  _V
4743, 44, 46fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
4840, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( (
z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
4948seqeq3d 11070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  =  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
501adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  A : NN0
--> CC )
51 eqid 2296 . . . . 5  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( z  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5240abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
5352rexrd 8897 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR* )
5434, 35mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  e.  RR* )
55 iccssxr 10748 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
5644, 50, 51radcnvcl 19809 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5755, 56sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
58 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5958cnmetdval 18296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
6040, 33, 59sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
6140subid1d 9162 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  -  0 )  =  X )
6261fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
6360, 62eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  X ) )
64 elbl3 17967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6532, 36, 64mpanl12 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6633, 40, 65sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 ) )
6739, 66mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
)
6863, 67eqbrtrrd 4061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  1
)
691, 2abelthlem1 19823 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7069adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7153, 54, 57, 68, 70xrltletrd 10508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7244, 50, 51, 40, 71radcnvlt2 19811 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
7349, 72eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7431, 73jaodan 760 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7512, 74syldan 456 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   [,]cicc 10675    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387
This theorem is referenced by:  abelthlem4  19826  abelthlem9  19832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391
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