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Theorem abelthlem3 20217
Description: Lemma for abelth 20225. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    z, n, M    n, X, z    A, n, z    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 20216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
76simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
8 ssundif 3655 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
97, 8sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( {
1 }  u.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
109sselda 3292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
11 elun 3432 . . 3  |-  ( X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1210, 11sylib 189 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
131feqmptd 5719 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
141ffvelrnda 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
1514mulid1d 9039 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
1615mpteq2dva 4237 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
1713, 16eqtr4d 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
18 elsni 3782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  X  =  1 )
1918oveq1d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( X ^
n )  =  ( 1 ^ n ) )
20 nn0z 10237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
21 1exp 11337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
2319, 22sylan9eq 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  ( X ^ n )  =  1 )
2423oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
2524mpteq2dva 4237 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
2625eqcomd 2393 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
2717, 26sylan9eq 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
2827seqeq3d 11259 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  =  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
292adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e.  dom  ~~>  )
3028, 29eqeltrrd 2463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
31 cnxmet 18679 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
32 0cn 9018 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
33 1re 9024 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3433rexri 9071 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
35 blssm 18343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
3631, 32, 34, 35mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
37 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
3836, 37sseldi 3290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  CC )
39 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z ^ n )  =  ( X ^
n ) )
4039oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
( A `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
4140mpteq2dv 4238 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
42 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )
43 nn0ex 10160 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
4443mptex 5906 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) )  e.  _V
4541, 42, 44fvmpt 5746 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
4638, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( (
z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
4746seqeq3d 11259 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  =  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
481adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  A : NN0
--> CC )
49 eqid 2388 . . . . 5  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( ( z  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5038abscld 12166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
5150rexrd 9068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR* )
52 rexr 9064 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
5333, 52mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  e.  RR* )
54 iccssxr 10926 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
5542, 48, 49radcnvcl 20201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5654, 55sseldi 3290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
57 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5857cnmetdval 18677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
5938, 32, 58sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
6038subid1d 9333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  -  0 )  =  X )
6160fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
6259, 61eqtrd 2420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  X ) )
63 elbl3 18326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6431, 34, 63mpanl12 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6532, 38, 64sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 ) )
6637, 65mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
)
6762, 66eqbrtrrd 4176 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  1
)
681, 2abelthlem1 20215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6968adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7051, 53, 56, 67, 69xrltletrd 10684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7142, 48, 49, 38, 70radcnvlt2 20203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
7247, 71eqeltrrd 2463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7330, 72jaodan 761 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7412, 73syldan 457 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654    \ cdif 3261    u. cun 3262    C_ wss 3264   {csn 3758   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819    o. ccom 4823   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   supcsup 7381   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   [,]cicc 10852    seq cseq 11251   ^cexp 11310   abscabs 11967    ~~> cli 12206   * Metcxmt 16613   ballcbl 16615
This theorem is referenced by:  abelthlem4  20218  abelthlem9  20224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-xadd 10644  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622
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