MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem4 Unicode version

Theorem abelthlem4 19826
Description: Lemma for abelth 19833. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10278 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10051 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
4 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  ( A `  m )  =  ( A `  n ) )
5 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
x ^ m )  =  ( x ^
n ) )
64, 5oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( A `  m
)  x.  ( x ^ m ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 m )  x.  ( x ^ m
) ) )
8 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
109adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) `  n
)  =  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) ) )
11 abelth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
13 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A `  n
)  e.  CC )
1412, 13sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
15 abelth.5 . . . . . . . 8  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
16 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
1715, 16eqsstri 3221 . . . . . . 7  |-  S  C_  CC
1817a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1918sselda 3193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
20 expcl 11137 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x ^ n
)  e.  CC )
2119, 20sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
x ^ n )  e.  CC )
2214, 21mulcld 8871 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  e.  CC )
23 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
24 abelth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
25 abelth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
2611, 23, 24, 25, 15abelthlem3 19825 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
271, 3, 10, 22, 26isumcl 12240 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  e.  CC )
28 abelth.6 . 2  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
2927, 28fmptd 5700 1  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  abelthlem7  19830  abelthlem8  19831  abelthlem9  19832  abelth  19833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391
  Copyright terms: Public domain W3C validator