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Theorem abelthlem6 20352
 Description: Lemma for abelth 20357. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
abelth.6
abelth.7
abelthlem6.1
Assertion
Ref Expression
abelthlem6
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4
21eldifad 3332 . . 3
3 oveq1 6088 . . . . . 6
43oveq2d 6097 . . . . 5
54sumeq2sdv 12498 . . . 4
6 abelth.6 . . . 4
7 sumex 12481 . . . 4
85, 6, 7fvmpt 5806 . . 3
92, 8syl 16 . 2
10 nn0uz 10520 . . 3
11 0z 10293 . . . 4
1211a1i 11 . . 3
13 fveq2 5728 . . . . . 6
14 oveq2 6089 . . . . . 6
1513, 14oveq12d 6099 . . . . 5
16 eqid 2436 . . . . 5
17 ovex 6106 . . . . 5
1815, 16, 17fvmpt 5806 . . . 4
1918adantl 453 . . 3
20 abelth.1 . . . . 5
2120ffvelrnda 5870 . . . 4
22 abelth.5 . . . . . . 7
23 ssrab2 3428 . . . . . . 7
2422, 23eqsstri 3378 . . . . . 6
2524, 2sseldi 3346 . . . . 5
26 expcl 11399 . . . . 5
2725, 26sylan 458 . . . 4
2821, 27mulcld 9108 . . 3
29 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
3029, 14oveq12d 6099 . . . . . . . 8
31 eqid 2436 . . . . . . . 8
32 ovex 6106 . . . . . . . 8
3330, 31, 32fvmpt 5806 . . . . . . 7
3433adantl 453 . . . . . 6
3510, 12, 21serf 11351 . . . . . . . 8
3635ffvelrnda 5870 . . . . . . 7
3736, 27mulcld 9108 . . . . . 6
38 abelth.2 . . . . . . . . . 10
39 abelth.3 . . . . . . . . . 10
40 abelth.4 . . . . . . . . . 10
4120, 38, 39, 40, 22abelthlem2 20348 . . . . . . . . 9
4241simprd 450 . . . . . . . 8
4342, 1sseldd 3349 . . . . . . 7
44 abelth.7 . . . . . . . 8
4520, 38, 39, 40, 22, 6, 44abelthlem5 20351 . . . . . . 7
4643, 45mpdan 650 . . . . . 6
4710, 12, 34, 37, 46isumclim2 12542 . . . . 5
48 seqex 11325 . . . . . 6
4948a1i 11 . . . . 5
50 0nn0 10236 . . . . . . . 8
5150a1i 11 . . . . . . 7
52 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13
5352oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12
5453sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . 11
55 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11
5654, 55oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10
57 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
58 ovex 6106 . . . . . . . . . 10
5956, 57, 58fvmpt 5806 . . . . . . . . 9
6059adantl 453 . . . . . . . 8
61 fzfid 11312 . . . . . . . . . 10
6220adantr 452 . . . . . . . . . . 11
63 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . 11
64 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11
6562, 63, 64syl2an 464 . . . . . . . . . 10
6661, 65fsumcl 12527 . . . . . . . . 9
67 expcl 11399 . . . . . . . . . 10
6825, 67sylan 458 . . . . . . . . 9
6966, 68mulcld 9108 . . . . . . . 8
7060, 69eqeltrd 2510 . . . . . . 7
7112peano2zd 10378 . . . . . . . . 9
72 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . 12
73 1e0p1 10410 . . . . . . . . . . . . 13
7473fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . 12
7572, 74eqtri 2456 . . . . . . . . . . 11
7675eleq2i 2500 . . . . . . . . . 10
77 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . . . 13
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
79 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179, 80oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14
8281oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
83 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
84 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13
8582, 83, 84fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12
8678, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11
87 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12
88 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . 13
8988adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
90 nn0ex 10227 . . . . . . . . . . . . . 14
9190mptex 5966 . . . . . . . . . . . . 13
9291shftval 11889 . . . . . . . . . . . 12
9387, 89, 92sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
94 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14
9578, 10syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
9620adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15
9896, 97, 64syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
9994, 95, 98fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . 13
100 expm1t 11408 . . . . . . . . . . . . . . 15
10125, 100sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
10225adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 expcl 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10425, 77, 103syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
105102, 104mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . . . 14
106101, 105eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
10799, 106oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12
108 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . . 14
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
110 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112111sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112, 14oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14
114 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 57, 114fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . 13
116109, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12
117 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14
11835, 77, 117syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
119102, 118, 104mul12d 9275 . . . . . . . . . . . 12
120107, 116, 1193eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11
12186, 93, 1203eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10
12276, 121sylan2br 463 . . . . . . . . 9
12371, 122seqfeq 11348 . . . . . . . 8
124 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14
125124, 55oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13
126 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13
127125, 31, 126fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12
128127adantl 453 . . . . . . . . . . 11
12935ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12
130129, 68mulcld 9108 . . . . . . . . . . 11
131128, 130eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10
132125oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
133 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13
134132, 83, 133fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12
135134adantl 453 . . . . . . . . . . 11
136128oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
137135, 136eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10
13810, 12, 25, 47, 131, 137isermulc2 12451 . . . . . . . . 9
139 1z 10311 . . . . . . . . . 10
14091isershft 12457 . . . . . . . . . 10
14111, 139, 140mp2an 654 . . . . . . . . 9
142138, 141sylib 189 . . . . . . . 8
143123, 142eqbrtrrd 4234 . . . . . . 7
14410, 51, 70, 143clim2ser2 12449 . . . . . 6
145 seq1 11336 . . . . . . . . . . 11
14611, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
147 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148147oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150 ltm1 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151149, 150ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15311, 152ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154 fzn 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15511, 153, 154mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
156151, 155mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157148, 156syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15
158157sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . . . 14
159 sum0 12515 . . . . . . . . . . . . . 14
160158, 159syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . 13
161 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13
162160, 161oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12
163 ovex 6106 . . . . . . . . . . . 12
164162, 57, 163fvmpt 5806 . . . . . . . . . . 11
16550, 164ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
166146, 165eqtri 2456 . . . . . . . . 9
167 expcl 11399 . . . . . . . . . . 11
16825, 50, 167sylancl 644 . . . . . . . . . 10
169168mul02d 9264 . . . . . . . . 9
170166, 169syl5eq 2480 . . . . . . . 8
171170oveq2d 6097 . . . . . . 7
17210, 12, 34, 37, 46isumcl 12545 . . . . . . . . 9
17325, 172mulcld 9108 . . . . . . . 8
174173addid1d 9266 . . . . . . 7
175171, 174eqtrd 2468 . . . . . 6
176144, 175breqtrd 4236 . . . . 5
17710, 12, 131serf 11351 . . . . . 6
178177ffvelrnda 5870 . . . . 5
17910, 12, 70serf 11351 . . . . . 6
180179ffvelrnda 5870 . . . . 5
181 simpr 448 . . . . . . 7
182181, 10syl6eleq 2526 . . . . . 6
183 simpl 444 . . . . . . 7
184 elfznn0 11083 . . . . . . 7
18534, 37eqeltrd 2510 . . . . . . 7
186183, 184, 185syl2an 464 . . . . . 6
187115adantl 453 . . . . . . . 8
188 fzfid 11312 . . . . . . . . . 10
18920adantr 452 . . . . . . . . . . 11
190189, 97, 64syl2an 464 . . . . . . . . . 10
191188, 190fsumcl 12527 . . . . . . . . 9
192191, 27mulcld 9108 . . . . . . . 8
193187, 192eqeltrd 2510 . . . . . . 7
194183, 184, 193syl2an 464 . . . . . 6
195 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14
196 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
197196, 10syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
198 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15
199189, 198, 64syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
200195, 197, 199fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . 13
201 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14
202197, 199, 201fsumm1 12537 . . . . . . . . . . . . 13
203200, 202eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12
204203oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
205191, 21pncan2d 9413 . . . . . . . . . . 11
206204, 205eqtr2d 2469 . . . . . . . . . 10
207206oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
20836, 191, 27subdird 9490 . . . . . . . . 9
209207, 208eqtrd 2468 . . . . . . . 8
21034, 187oveq12d 6099 . . . . . . . 8
211209, 19, 2103eqtr4d 2478 . . . . . . 7
212183, 184, 211syl2an 464 . . . . . 6
213182, 186, 194, 212sersub 11366 . . . . 5
21410, 12, 47, 49, 176, 178, 180, 213climsub 12427 . . . 4
21587a1i 11 . . . . . 6
216215, 25, 172subdird 9490 . . . . 5
217172mulid2d 9106 . . . . . 6
218217oveq1d 6096 . . . . 5
219216, 218eqtrd 2468 . . . 4
220214, 219breqtrrd 4238 . . 3
22110, 12, 19, 28, 220isumclim 12541 . 2
2229, 221eqtrd 2468 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  c0 3628  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  cfz 11043   cseq 11323  cexp 11382   cshi 11881  cabs 12039   cli 12278  csu 12479  cbl 16688 This theorem is referenced by:  abelthlem7  20354 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697
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