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Theorem abelthlem6 20352
Description: Lemma for abelth 20357. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    n, X, x, z    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables  i 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
21eldifad 3332 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
3 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ n )  =  ( X ^
n ) )
43oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
54sumeq2sdv 12498 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
6 abelth.6 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
7 sumex 12481 . . . 4  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt 5806 . . 3  |-  ( X  e.  S  ->  ( F `  X )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
92, 8syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
10 nn0uz 10520 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
11 0z 10293 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
13 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( A `  k )  =  ( A `  n ) )
14 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
1513, 14oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( A `  k
)  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
16 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) )
17 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) )  e. 
_V
1815, 16, 17fvmpt 5806 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
1918adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
20 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2120ffvelrnda 5870 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
22 abelth.5 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
23 ssrab2 3428 . . . . . . 7  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
2422, 23eqsstri 3378 . . . . . 6  |-  S  C_  CC
2524, 2sseldi 3346 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
26 expcl 11399 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
2725, 26sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
2821, 27mulcld 9108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
29 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
3029, 14oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
31 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
32 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
3433adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
3510, 12, 21serf 11351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
3635ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
3736, 27mulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
38 abelth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
39 abelth.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
40 abelth.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
4120, 38, 39, 40, 22abelthlem2 20348 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
4241simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4342, 1sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
44 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
4520, 38, 39, 40, 22, 6, 44abelthlem5 20351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
4643, 45mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
4710, 12, 34, 37, 46isumclim2 12542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
48 seqex 11325 . . . . . 6  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) )  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  _V )
50 0nn0 10236 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
52 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  -  1 )  =  ( i  - 
1 ) )
5352oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )
5453sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m ) )
55 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ i
) )
5654, 55oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ i ) ) )
57 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) )
58 ovex 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ i
) )  e.  _V
5956, 57, 58fvmpt 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( i  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
i ) ) )
6059adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( i  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
i ) ) )
61 fzfid 11312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( i  - 
1 ) )  e. 
Fin )
6220adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
63 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
64 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A `  m
)  e.  CC )
6562, 63, 64syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
6661, 65fsumcl 12527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) ( A `  m )  e.  CC )
67 expcl 11399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( X ^ i
)  e.  CC )
6825, 67sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X ^ i )  e.  CC )
6966, 68mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ i
) )  e.  CC )
7060, 69eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  e.  CC )
7112peano2zd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
72 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
73 1e0p1 10410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7473fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
7572, 74eqtri 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
7675eleq2i 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
77 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
79 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) ) )
80 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ (
n  -  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
n  -  1 ) ) ) )
8281oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
83 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )
84 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  e.  _V
8582, 83, 84fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
8678, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
87 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
88 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
8988adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
90 nn0ex 10227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
9190mptex 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  _V
9291shftval 11889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) `
 n )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 ( n  - 
1 ) ) )
9387, 89, 92sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) ) )
94 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
9578, 10syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9620adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN0
--> CC )
97 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
9896, 97, 64syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
9994, 95, 98fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) ) )
100 expm1t 11408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n
)  =  ( ( X ^ ( n  -  1 ) )  x.  X ) )
10125, 100sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n )  =  ( ( X ^
( n  -  1 ) )  x.  X
) )
10225adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
103 expcl 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( X ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
10425, 77, 103syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
105102, 104mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( X ^
( n  -  1 ) ) )  =  ( ( X ^
( n  -  1 ) )  x.  X
) )
106101, 105eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n )  =  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )
10799, 106oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
108 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
110 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
111110oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )
112111sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m ) )
113112, 14oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ n ) ) )
114 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  e.  _V
115113, 57, 114fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
116109, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
117 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  (
n  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
11835, 77, 117syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
119102, 118, 104mul12d 9275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) )  x.  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
120107, 116, 1193eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
12186, 93, 1203eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) )
12276, 121sylan2br 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) )
12371, 122seqfeq 11348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  =  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
124 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )
125124, 55oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) ) )
126 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i )  x.  ( X ^ i ) )  e.  _V
127125, 31, 126fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
128127adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
12935ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
130129, 68mulcld 9108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) )  e.  CC )
131128, 130eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  e.  CC )
132125oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
133 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )  e.  _V
134132, 83, 133fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
135134adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
136128oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
137135, 136eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) ) )
13810, 12, 25, 47, 131, 137isermulc2 12451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
139 1z 10311 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
14091isershft 12457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
14111, 139, 140mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
142138, 141sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
143123, 142eqbrtrrd 4234 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
14410, 51, 70, 143clim2ser2 12449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
) ) )
145 seq1 11336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 ) )
14611, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )
147 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
148147oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) )
149 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
150 ltm1 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
151149, 150ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  -  1 )  <  0
152 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
15311, 152ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
154 fzn 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) ) )
15511, 153, 154mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
156151, 155mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
157148, 156syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  0  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  (/) )
158157sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  (/)  ( A `  m ) )
159 sum0 12515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ m  e.  (/)  ( A `  m )  =  0
160158, 159syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  0 )
161 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ 0 ) )
162160, 161oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) ) )
163 ovex 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  x.  ( X ^
0 ) )  e. 
_V
164162, 57, 163fvmpt 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) ) )
16550, 164ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) )
166146, 165eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( 0  x.  ( X ^
0 ) )
167 expcl 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 0 )  e.  CC )
16825, 50, 167sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  CC )
169168mul02d 9264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) )  =  0 )
170166, 169syl5eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 )  =  0 )
171170oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  0 ) )
17210, 12, 34, 37, 46isumcl 12545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
17325, 172mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
174173addid1d 9266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  0 )  =  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
175171, 174eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
176144, 175breqtrd 4236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
17710, 12, 131serf 11351 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
178177ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 i )  e.  CC )
17910, 12, 70serf 11351 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
180179ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  e.  CC )
181 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
182181, 10syl6eleq 2526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
183 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ph )
184 elfznn0 11083 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... i )  ->  n  e.  NN0 )
18534, 37eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
186183, 184, 185syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  e.  CC )
187115adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
188 fzfid 11312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( n  - 
1 ) )  e. 
Fin )
18920adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
190189, 97, 64syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
191188, 190fsumcl 12527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  e.  CC )
192191, 27mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
193187, 192eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  e.  CC )
194183, 184, 193syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
195 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
196 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
197196, 10syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
198 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 0 ... n )  ->  m  e.  NN0 )
199189, 198, 64syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
200195, 197, 199fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... n
) ( A `  m )  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n ) )
201 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( A `  m )  =  ( A `  n ) )
202197, 199, 201fsumm1 12537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... n
) ( A `  m )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) ) )
203200, 202eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  +  ( A `  n
) ) )
204203oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  -  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m ) ) )
205191, 21pncan2d 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) )  =  ( A `
 n ) )
206204, 205eqtr2d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) ) )
207206oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `  m
) )  x.  ( X ^ n ) ) )
20836, 191, 27subdird 9490 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
209207, 208eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
21034, 187oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  -  (
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
211209, 19, 2103eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  -  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
212183, 184, 211syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  -  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
213182, 186, 194, 212sersub 11366 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( (  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  -  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
) ) )
21410, 12, 47, 49, 176, 178, 180, 213climsub 12427 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  ~~>  ( sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( X  x.  sum_ n  e. 
NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
21587a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
216215, 25, 172subdird 9490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  -  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
217172mulid2d 9106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
218217oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x. 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  -  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( X  x.  sum_ n  e. 
NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
219216, 218eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  -  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
220214, 219breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  ~~>  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
22110, 12, 19, 28, 220isumclim 12541 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
2229, 221eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043    seq cseq 11323   ^cexp 11382    shift cshi 11881   abscabs 12039    ~~> cli 12278   sum_csu 12479   ballcbl 16688
This theorem is referenced by:  abelthlem7  20354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697
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