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Theorem abelthlem6 19812
Description: Lemma for abelth 19817. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    n, X, x, z    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables  i 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
2 eldifi 3298 . . . 4  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  e.  S
)
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
4 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ n )  =  ( X ^
n ) )
54oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
65sumeq2sdv 12177 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
7 abelth.6 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
8 sumex 12160 . . . 4  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5602 . . 3  |-  ( X  e.  S  ->  ( F `  X )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
103, 9syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
11 nn0uz 10262 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
12 0z 10035 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
14 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( A `  k )  =  ( A `  n ) )
15 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
1614, 15oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( A `  k
)  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) )
18 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) )  e. 
_V
1916, 17, 18fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
2019adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
21 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
22 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A `  n
)  e.  CC )
2321, 22sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
24 abelth.5 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
25 ssrab2 3258 . . . . . . 7  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
2624, 25eqsstri 3208 . . . . . 6  |-  S  C_  CC
2726, 3sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
28 expcl 11121 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
2927, 28sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
3023, 29mulcld 8855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
31 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
3231, 15oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
33 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
34 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
3532, 33, 34fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
3635adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
3711, 13, 23serf 11074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
38 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
3937, 38sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
4039, 29mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
41 abelth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
42 abelth.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
43 abelth.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
4421, 41, 42, 43, 24abelthlem2 19808 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
4544simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4645, 1sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
47 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
4821, 41, 42, 43, 24, 7, 47abelthlem5 19811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
4946, 48mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5011, 13, 36, 40, 49isumclim2 12221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
51 seqex 11048 . . . . . 6  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) )  e.  _V
5251a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  _V )
53 0nn0 9980 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
5453a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
55 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  -  1 )  =  ( i  - 
1 ) )
5655oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )
5756sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m ) )
58 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ i
) )
5957, 58oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ i ) ) )
60 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) )
61 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ i
) )  e.  _V
6259, 60, 61fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( i  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
i ) ) )
6362adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( i  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
i ) ) )
64 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( i  - 
1 ) )  e. 
Fin )
6521adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
66 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
67 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A `  m
)  e.  CC )
6865, 66, 67syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
6964, 68fsumcl 12206 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) ( A `  m )  e.  CC )
70 expcl 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( X ^ i
)  e.  CC )
7127, 70sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X ^ i )  e.  CC )
7269, 71mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ i
) )  e.  CC )
7363, 72eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  e.  CC )
7413peano2zd 10120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
75 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
76 1e0p1 10152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7776fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
7875, 77eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
7978eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
80 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
82 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) ) )
83 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ (
n  -  1 ) ) )
8482, 83oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
n  -  1 ) ) ) )
8584oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
86 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )
87 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  e.  _V
8885, 86, 87fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
8981, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
90 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
91 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9291adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
93 nn0ex 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
9493mptex 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  _V
9594shftval 11569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) `
 n )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 ( n  - 
1 ) ) )
9690, 92, 95sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) ) )
97 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
9881, 11syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9921adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN0
--> CC )
100 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
10199, 100, 67syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
10297, 98, 101fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) ) )
103 expm1t 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n
)  =  ( ( X ^ ( n  -  1 ) )  x.  X ) )
10427, 103sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n )  =  ( ( X ^
( n  -  1 ) )  x.  X
) )
10527adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
106 expcl 11121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( X ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
10727, 80, 106syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
108105, 107mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( X ^
( n  -  1 ) ) )  =  ( ( X ^
( n  -  1 ) )  x.  X
) )
109104, 108eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n )  =  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )
110102, 109oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
111 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
113 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
114113oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )
115114sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m ) )
116115, 15oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ n ) ) )
117 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  e.  _V
118116, 60, 117fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
119112, 118syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
120 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  (
n  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
12137, 80, 120syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
122105, 121, 107mul12d 9021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) )  x.  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
123110, 119, 1223eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
12489, 96, 1233eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) )
12579, 124sylan2br 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) )
12674, 125seqfeq 11071 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  =  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
127 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )
128127, 58oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) ) )
129 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i )  x.  ( X ^ i ) )  e.  _V
130128, 33, 129fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
131130adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
132 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
13337, 132sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
134133, 71mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) )  e.  CC )
135131, 134eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  e.  CC )
136128oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
137 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )  e.  _V
138136, 86, 137fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
139138adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
140131oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
141139, 140eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) ) )
14211, 13, 27, 50, 135, 141isermulc2 12131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
143 1z 10053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
14494isershft 12137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
14512, 143, 144mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
146142, 145sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
147126, 146eqbrtrrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
14811, 54, 73, 147clim2ser2 12129 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
) ) )
149 seq1 11059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 ) )
15012, 149ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )
151 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
152151oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) )
153 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
154 ltm1 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
155153, 154ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  -  1 )  <  0
156 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
15712, 156ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
158 fzn 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) ) )
15912, 157, 158mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
160155, 159mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
161152, 160syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  0  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  (/) )
162161sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  (/)  ( A `  m ) )
163 sum0 12194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ m  e.  (/)  ( A `  m )  =  0
164162, 163syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  0 )
165 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ 0 ) )
166164, 165oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) ) )
167 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  x.  ( X ^
0 ) )  e. 
_V
168166, 60, 167fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) ) )
16953, 168ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) )
170150, 169eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( 0  x.  ( X ^
0 ) )
171 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 0 )  e.  CC )
17227, 53, 171sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  CC )
173172mul02d 9010 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) )  =  0 )
174170, 173syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 )  =  0 )
175174oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  0 ) )
17611, 13, 36, 40, 49isumcl 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
17727, 176mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
178177addid1d 9012 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  0 )  =  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
179175, 178eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
180148, 179breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
18111, 13, 135serf 11074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
182 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  e.  CC )
183181, 182sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 i )  e.  CC )
18411, 13, 73serf 11074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
185 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 i )  e.  CC )
186184, 185sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  e.  CC )
187 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
188187, 11syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
189 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ph )
190 elfznn0 10822 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... i )  ->  n  e.  NN0 )
19136, 40eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
192189, 190, 191syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  e.  CC )
193118adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
194 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( n  - 
1 ) )  e. 
Fin )
19521adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
196195, 100, 67syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
197194, 196fsumcl 12206 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  e.  CC )
198197, 29mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
199193, 198eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  e.  CC )
200189, 190, 199syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
201 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
202 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
203202, 11syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
204 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 0 ... n )  ->  m  e.  NN0 )
205195, 204, 67syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
206201, 203, 205fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... n
) ( A `  m )  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n ) )
207 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( A `  m )  =  ( A `  n ) )
208203, 205, 207fsumm1 12216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... n
) ( A `  m )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) ) )
209206, 208eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  +  ( A `  n
) ) )
210209oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  -  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m ) ) )
211197, 23pncan2d 9159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) )  =  ( A `
 n ) )
212210, 211eqtr2d 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) ) )
213212oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `  m
) )  x.  ( X ^ n ) ) )
21439, 197, 29subdird 9236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
215213, 214eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
21636, 193oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  -  (
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
217215, 20, 2163eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  -  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
218189, 190, 217syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  -  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
219188, 192, 200, 218sersub 11089 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( (  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  -  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
) ) )
22011, 13, 50, 52, 180, 183, 186, 219climsub 12107 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  ~~>  ( sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( X  x.  sum_ n  e. 
NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
22190a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
222221, 27, 176subdird 9236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  -  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
223176mulid2d 8853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
224223oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x. 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  -  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( X  x.  sum_ n  e. 
NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
225222, 224eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  -  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
226220, 225breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  ~~>  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
22711, 13, 20, 30, 226isumclim 12220 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
22810, 227eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104    shift cshi 11561   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  abelthlem7  19814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375
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