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Theorem abelthlem7 19814
Description: Lemma for abelth 19817. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
abelthlem7.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
abelthlem7.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
abelthlem7.4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
abelthlem7.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Distinct variable groups:    k, n, x, z, M    R, k, n, x, z    k, X, n, x, z    A, k, n, x, z    k, N, n    ph, k, n, x    S, k, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, k, n)    N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 19810 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
8 abelthlem6.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
9 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  e.  S
)
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
11 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : S --> CC  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
127, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
1312abscld 11918 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  e.  RR )
14 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
15 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8abelthlem7a 19813 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
1716simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
18 subcl 9051 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
1914, 17, 18sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
20 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
21 elfznn0 10822 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
22 nn0uz 10262 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
23 0z 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A `  n
)  e.  CC )
261, 25sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
2722, 24, 26serf 11074 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
28 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
2927, 28sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
30 expcl 11121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
3117, 30sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
3229, 31mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
3321, 32sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
3420, 33fsumcl 12206 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
3519, 34mulcld 8855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
3635abscld 11918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  RR )
37 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
38 abelthlem7.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3938nn0zd 10115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
40 eluznn0 10288 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
4138, 40sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  NN0 )
42 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
43 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
4442, 43oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
45 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
46 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
4744, 45, 46fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4841, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4941, 32syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
501, 2, 3, 4, 5abelthlem2 19808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
5150simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
5251, 8sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
531, 2, 3, 4, 5, 6, 15abelthlem5 19811 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5452, 53mpdan 649 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5547adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
5655, 32eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
5722, 38, 56iserex 12130 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  N (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5854, 57mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5937, 39, 48, 49, 58isumcl 12224 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
6019, 59mulcld 8855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
6160abscld 11918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  e.  RR )
6236, 61readdcld 8862 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
63 peano2re 8985 . . . 4  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
643, 63syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
65 abelthlem7.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
6665rpred 10390 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6764, 66remulcld 8863 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  e.  RR )
681, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8abelthlem6 19812 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
6922, 37, 38, 55, 32, 54isumsplit 12299 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
7069oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
7119, 34, 59adddid 8859 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
7268, 70, 713eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( ( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
7372fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) ) )
7435, 60abstrid 11938 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
7573, 74eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
763, 66remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  RR )
7719abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR )
7829abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
7921, 78sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR )
8020, 79fsumrecl 12207 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  e.  RR )
81 peano2re 8985 . . . . . . 7  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR  ->  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
8280, 81syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
8377, 82remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  e.  RR )
8419, 34absmuld 11936 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
8534abscld 11918 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8619absge0d 11926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )
8732abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
8821, 87sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8920, 88fsumrecl 12207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
9020, 33fsumabs 12259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
9117abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
92 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  X
) ^ n )  e.  RR )
9391, 92sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
94 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
9594a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
9629absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
9791adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
9817absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
9998adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
100 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  CC
101 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
102101cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
10317, 100, 102sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
10417subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  -  0 )  =  X )
105104fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
106103, 105eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  X ) )
107 cnxmet 18282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
108 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
109 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
110108, 109ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
111 elbl3 17951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
112107, 110, 111mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
113100, 17, 112sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
11452, 113mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 )
115106, 114eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  1 )
116 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
11791, 94, 116sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
118115, 117mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <_  1 )
119118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  <_  1
)
120 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
121 exple1 11161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
12297, 99, 119, 120, 121syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
12393, 95, 78, 96, 122lemul2ad 9697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 ) )
12429, 31absmuld 11936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  ( abs `  ( X ^
n ) ) ) )
125 absexp 11789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( X ^ n ) )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
12617, 125sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( X ^ n
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
127126oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( abs `  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
128124, 127eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
12978recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  CC )
130129mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 )  =  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
131123, 128, 1303brtr3d 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13221, 131sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) ) )
13320, 88, 79, 132fsumle 12257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13485, 89, 80, 90, 133letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13580ltp1d 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )
13685, 80, 82, 134, 135lelttrd 8974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13785, 82, 136ltled 8967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13885, 82, 77, 86, 137lemul2ad 9697 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
13984, 138eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) ) )
140 abelthlem7.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
141 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
142141a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
14321, 96sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
14420, 79, 143fsumge0 12253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
145142, 80, 82, 144, 135lelttrd 8974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
146 ltmuldiv 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
14777, 66, 82, 145, 146syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
148140, 147mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  <  R )
14936, 83, 66, 139, 148lelttrd 8974 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <  R
)
15019, 59absmuld 11936 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
15159abscld 11918 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
15244fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
153 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )
154 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e. 
_V
155152, 153, 154fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
15641, 155syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
15749abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
158 uzid 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
15939, 158syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
160 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  X
) ^ k )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
161 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) )
162 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  X ) ^ n )  e. 
_V
163160, 161, 162fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
16441, 163syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
16541, 93syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
166164, 165eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  RR )
167157recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  CC )
168156, 167eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  e.  CC )
16991recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
170 absidm 11807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
17117, 170syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  =  ( abs `  X
) )
172171, 115eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  <  1 )
173169, 172, 38, 164geolim2 12327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
174 seqex 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) )  e.  _V
175 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e. 
_V
176174, 175breldm 4883 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  ->  seq  N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
177173, 176syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
178124, 127eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17941, 178syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
18041, 78syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
18166adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  R  e.  RR )
18291adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
18398adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
184182, 41, 183expge0d 11263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
185 abelthlem7.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
18642fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
187186breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  <->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
) )
188187rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
)
189185, 188sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <  R )
190180, 181, 189ltled 8967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <_  R )
191180, 181, 165, 184, 190lemul1ad 9696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )
192179, 191eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
193156fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n ) )  =  ( abs `  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
194 absidm 11807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
19549, 194syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
196193, 195eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n ) )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
197164oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
198192, 196, 1973brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n ) )  <_  ( R  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) `  n
) ) )
19937, 159, 166, 168, 177, 66, 198cvgcmpce 12276 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
20037, 39, 156, 157, 199isumrecl 12228 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
201 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  =/=  1
)
2028, 201syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =/=  1 )
203202necomd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  =/=  X )
204 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =  0  <->  1  =  X ) )
205204necon3bid 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
20614, 17, 205sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
207203, 206mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  =/=  0 )
20819, 207absrpcld 11930 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR+ )
20976, 208rerpdivcld 10417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR )
21037, 39, 48, 49, 58isumclim2 12221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
21137, 39, 156, 167, 199isumclim2 12221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
21241, 56syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
21348fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
214156, 213eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
21537, 210, 211, 39, 212, 214iserabs 12273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
21691, 38reexpcld 11262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  RR )
217 difrp 10387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
21891, 94, 217sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
219115, 218mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
220216, 219rerpdivcld 10417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e.  RR )
22166, 220remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  e.  RR )
222160oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^
k ) )  =  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
223 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) )
224 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n
) )  e.  _V
225222, 223, 224fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
22641, 225syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
227181, 165remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  RR )
22865rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
229166recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  CC )
230226, 197eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
23137, 39, 228, 173, 229, 230isermulc2 12131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
232 seqex 11048 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) )  e.  _V
233 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  e.  _V
234232, 233breldm 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
235231, 234syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
23637, 39, 156, 157, 226, 227, 192, 199, 235isumle 12303 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
237227recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  CC )
23837, 39, 226, 237, 231isumclim 12220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
239236, 238breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
24065, 219rpdivcld 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR+ )
241240rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
242216recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  CC )
243219rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  CC )
244219rpne0d 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  =/=  0 )
245228, 242, 243, 244div12d 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
24694a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
247240rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
248 exple1 11161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^ N )  <_  1
)
24991, 98, 118, 38, 248syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  <_  1 )
250216, 246, 241, 247, 249lemul1ad 9696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
251240rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  CC )
252251mulid2d 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
253250, 252breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
254245, 253eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
25516simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
256 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  X )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
25794, 91, 256sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
2583, 257remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
25977, 258, 65lemul2d 10430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) ) )
260255, 259mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
2613recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
262228, 261, 243mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
263228, 243mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) )
264263oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( R  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) ) )
265261, 243, 228mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  R ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
266262, 264, 2653eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
267260, 266breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
268257, 76remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  e.  RR )
26966, 268, 208lemuldivd 10435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R
) )  <->  R  <_  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
270267, 269mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R ) )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
27176recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  CC )
27277recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  CC )
273208rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  =/=  0 )
274243, 271, 272, 273divassd 9571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  (
( M  x.  R
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
275270, 274breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
276 posdif 9267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
27791, 94, 276sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
278115, 277mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )
279 ledivmul 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  (
( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
28066, 209, 257, 278, 279syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
281275, 280mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
282221, 241, 209, 254, 281letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
283200, 221, 209, 239, 282letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
284151, 200, 209, 215, 283letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
285151, 76, 208lemuldiv2d 10436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R )  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
286284, 285mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
287150, 286eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
28836, 61, 66, 76, 149, 287ltleaddd 9392 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
28914a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
290261, 289, 228adddird 8860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) ) )
291228mulid2d 8853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
292291oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) )  =  ( ( M  x.  R )  +  R ) )
293271, 228addcomd 9014 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
294290, 292, 2933eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
295288, 294breqtrrd 4049 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
29613, 62, 67, 75, 295lelttrd 8974 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  abelthlem8  19815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375
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