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Theorem abelthlem9 19816
Description: Lemma for abelth 19817. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 
0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem9
Dummy variables  i 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 0nn0 9980 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
32a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
4 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A `  0
)  e.  CC )
51, 3, 4syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
6 nn0uz 10262 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7 0z 10035 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
87a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
9 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
10 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A `  m
)  e.  CC )
111, 10sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
12 abelth.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
136, 8, 9, 11, 12isumcl 12224 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC )
1413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e. 
NN0  ( A `  m )  e.  CC )
155, 14subcld 9157 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
16 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
171, 16sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
18 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC  /\  ( A `
 k )  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  e.  CC )
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  e.  CC )
20 eqid 2283 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) )
2119, 20fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) : NN0 --> CC )
222a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  e.  CC )
2421, 23sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  e.  CC )
25 1e0p1 10152 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
26 1z 10053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
2725, 26eqeltrri 2354 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  e.  ZZ
2827a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
29 nnuz 10263 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3025fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
3129, 30eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
3231eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  <->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
33 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
3433adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e. 
NN0 )
35 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  =  0  <->  i  =  0 ) )
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
3735, 36ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) ) )
38 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  _V
39 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A `
 i )  e. 
_V
4038, 39ifex 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  e.  _V
4137, 20, 40fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
4234, 41syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
43 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  i  =/=  0 )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  =/=  0 )
4544neneqd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  -.  i  =  0 )
46 iffalse 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  i  =  0  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  =  ( A `  i ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  =  ( A `  i ) )
4842, 47eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  ( A `  i ) )
4932, 48sylan2br 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  ( A `  i ) )
5028, 49seqfeq 11071 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  =  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A ) )
516, 8, 9, 11, 12isumclim2 12221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
526, 22, 17, 51clim2ser 12128 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
) ) )
53 seq1 11059 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
547, 53ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
)  =  ( A `
 0 )
5554oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
) )  =  (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )
5652, 55syl6breq 4062 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
) )
5750, 56eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) ) )
586, 22, 24, 57clim2ser2 12129 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
) ) )
59 seq1 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 ) )
607, 59ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )
61 iftrue 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  =  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
6261, 20, 38fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
632, 62ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
6460, 63eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
6564oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
661, 2, 4sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  CC )
67 npncan2 9074 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC  /\  ( A `  0 )  e.  CC )  ->  (
( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )  +  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  0 )
6813, 66, 67syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  0 )
6965, 68syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
) )  =  0 )
7058, 69breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  0 )
71 seqex 11048 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  e.  _V
72 c0ex 8832 . . . . 5  |-  0  e.  _V
7371, 72breldm 4883 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  ~~>  0  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7470, 73syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
75 abelth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
76 abelth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
77 abelth.5 . . 3  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
78 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) )
7921, 74, 75, 76, 77, 78, 70abelthlem8 19815 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R ) )
801, 12, 75, 76, 77abelthlem2 19808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
8180simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  S )
8341adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
84 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ i )  =  ( 1 ^ i ) )
85 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
86 1exp 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ^ i )  =  1 )
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 1 ^ i )  =  1 )
8884, 87sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( x ^ i
)  =  1 )
8983, 88oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 ) )
9089sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
91 sumex 12160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 )  e.  _V
9290, 78, 91fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
9382, 92syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
947a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
9541adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) ) )
9666, 13subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
9796ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
98 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
991, 98sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
10099adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
101 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC  /\  ( A `
 i )  e.  CC )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  e.  CC )
10297, 100, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  e.  CC )
103102mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 i ) ) )
10495, 103eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) `  i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
105103, 102eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 )  e.  CC )
106 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
107 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
108 1exp 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
110106, 109sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
111110oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
112111sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
113 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  ( A `  n )  =  ( A `  m ) )
114113oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( A `  n
)  x.  1 )  =  ( ( A `
 m )  x.  1 ) )
115114cbvsumv 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 )
116112, 115syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 ) )
117 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
118 sumex 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `
 m )  x.  1 )  e.  _V
119116, 117, 118fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 ) )
12081, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `
 m )  x.  1 ) )
12111mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  m )  x.  1 )  =  ( A `  m ) )
122121sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
123120, 122eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
124123oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
12513subidd 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  0 )
126124, 125eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  0 )
12770, 126breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
128127adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
1296, 94, 104, 105, 128isumclim 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 )  =  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
13093, 129eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
131 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ i )  =  ( y ^
i ) )
13241, 131oveqan12rd 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  y  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) ) )
133132sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
134 sumex 12160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) )  e.  _V
135133, 78, 134fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
136135adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
137 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
y ^ k )  =  ( y ^
i ) )
13837, 137oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
139 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  x.  (
y ^ k ) ) )
140 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  e. 
_V
141138, 139, 140fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
142141adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
143 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
14477, 143eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  C_  CC
145144a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
146145sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
147 expcl 11121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( y ^ i
)  e.  CC )
148146, 147sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
y ^ i )  e.  CC )
149102, 148mulcld 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  e.  CC )
1502a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  NN0 )
15119adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  e.  CC )
152 expcl 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( y ^ k
)  e.  CC )
153146, 152sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
y ^ k )  e.  CC )
154151, 153mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  e.  CC )
155154, 139fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) : NN0 --> CC )
156 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  i
)  e.  CC )
157155, 156sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  e.  CC )
15847oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
15934, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
16036, 137oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
161 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) )
162 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) )  e. 
_V
163160, 161, 162fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
16434, 163syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
165158, 159, 1643eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) `  i ) )
16632, 165sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) `  i ) )
16728, 166seqfeq 11071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  =  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) ) )
168167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  =  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) )
16917adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
170169, 153mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  e.  CC )
171170, 161fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) : NN0 --> CC )
172 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  e.  CC )
173171, 172sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  i
)  e.  CC )
174163adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  i
)  =  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
175100, 148mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( A `  i
)  x.  ( y ^ i ) )  e.  CC )
1761, 12, 75, 76, 77abelthlem3 19809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
1776, 94, 174, 175, 176isumclim2 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
178 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  i  ->  ( A `  n )  =  ( A `  i ) )
179 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  i  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
i ) )
180178, 179oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  i  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( x ^ i
) ) )
181180cbvsumv 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( x ^
i ) )
182131oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( A `  i
)  x.  ( x ^ i ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
183182sumeq2sdv 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( x ^ i
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
184181, 183syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
185 sumex 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) )  e.  _V
186184, 117, 185fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
187186adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
188177, 187breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( F `
 y ) )
1896, 150, 173, 188clim2ser 12128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  y )  -  (  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) ) )
190 seq1 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  0
) )
1917, 190ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  0
)
192 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  ( A `  k )  =  ( A ` 
0 ) )
193 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  (
y ^ k )  =  ( y ^
0 ) )
194192, 193oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  ( y ^ 0 ) ) )
195 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  0 )  x.  ( y ^
0 ) )  e. 
_V
196194, 161, 195fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ` 
0 )  x.  (
y ^ 0 ) ) )
1972, 196ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ` 
0 )  x.  (
y ^ 0 ) )
198191, 197eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )
199146exp0d 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y ^ 0 )  =  1 )
200199oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  1 ) )
20166adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
202201mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  1 )  =  ( A ` 
0 ) )
203200, 202eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( A ` 
0 ) )
204198, 203syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( A `  0 ) )
205204oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  y
)  -  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 ) )  =  ( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
) )
206189, 205breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  y )  -  ( A ` 
0 ) ) )
207168, 206eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `
 y )  -  ( A `  0 ) ) )
2086, 150, 157, 207clim2ser2 12129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( ( F `  y )  -  ( A ` 
0 ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) ) )
209 seq1 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 ) )
2107, 209ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )
21161, 193oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) ) )
212 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  e.  _V
213211, 139, 212fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) ) )
2142, 213ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) )
215210, 214eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )
216199oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  1 ) )
21713adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC )
218201, 217subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
219218mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  1 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
220216, 219eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
221215, 220syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
222221oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) )  =  ( ( ( F `  y
)  -  ( A `
 0 ) )  +  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ) )
2231, 12, 75, 76, 77, 117abelthlem4 19810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
224 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
225223, 224sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
226225, 201, 217npncand 9181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  ( ( F `  y
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
227222, 226eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) )  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
228208, 227breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `
 y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
2296, 94, 142, 149, 228isumclim 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) )  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
230136, 229eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
231130, 230oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) )  =  ( ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  -  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ) )
232223adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  F : S --> CC )
233 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : S --> CC  /\  1  e.  S )  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
234232, 82, 233syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  e.  CC )
235234, 225, 217nnncan2d 9192 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  -  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )
236231, 235eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) )  =  ( ( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )
237236fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) ) )
238237breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R  <->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
239238imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  R
) ) )
240239ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  R
) ) )
241240rexbidv 2564 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) ) )
242241adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) ) )
24379, 242mpbid 201 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  abelth  19817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375
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