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Theorem abelthlem9 20358
Description: Lemma for abelth 20359. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 
0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem9
Dummy variables  i 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 0nn0 10238 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
4 ffvelrn 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A `  0
)  e.  CC )
51, 3, 4syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
6 nn0uz 10522 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7 0z 10295 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
9 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
101ffvelrnda 5872 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
11 abelth.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
126, 8, 9, 10, 11isumcl 12547 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC )
1312adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e. 
NN0  ( A `  m )  e.  CC )
145, 13subcld 9413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
151ffvelrnda 5872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
16 ifcl 3777 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC  /\  ( A `
 k )  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  e.  CC )
1714, 15, 16syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  e.  CC )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) )
1917, 18fmptd 5895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) : NN0 --> CC )
202a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
2119ffvelrnda 5872 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  e.  CC )
22 1e0p1 10412 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
23 1z 10313 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
2422, 23eqeltrri 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  e.  ZZ
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
26 nnuz 10523 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2722fveq2i 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
2826, 27eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
2928eleq2i 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  <->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
30 nnnn0 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e. 
NN0 )
32 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  =  0  <->  i  =  0 ) )
33 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
3432, 33ifbieq2d 3761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) ) )
35 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  _V
36 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A `
 i )  e. 
_V
3735, 36ifex 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  e.  _V
3834, 18, 37fvmpt 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
3931, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
40 nnne0 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  i  =/=  0 )
4140adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  =/=  0 )
4241neneqd 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  -.  i  =  0 )
43 iffalse 3748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  i  =  0  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  =  ( A `  i ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  =  ( A `  i ) )
4539, 44eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  ( A `  i ) )
4629, 45sylan2br 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  ( A `  i ) )
4725, 46seqfeq 11350 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  =  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A ) )
486, 8, 9, 10, 11isumclim2 12544 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
496, 20, 15, 48clim2ser 12450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
) ) )
50 seq1 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
517, 50ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
)  =  ( A `
 0 )
5251oveq2i 6094 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
) )  =  (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )
5349, 52syl6breq 4253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
) )
5447, 53eqbrtrd 4234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) ) )
556, 20, 21, 54clim2ser2 12451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
) ) )
56 seq1 11338 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 ) )
577, 56ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )
58 iftrue 3747 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  =  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
5958, 18, 35fvmpt 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
602, 59ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
6157, 60eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
6261oveq2i 6094 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
631, 2, 4sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  CC )
64 npncan2 9330 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC  /\  ( A `  0 )  e.  CC )  ->  (
( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )  +  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  0 )
6512, 63, 64syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  0 )
6662, 65syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
) )  =  0 )
6755, 66breqtrd 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  0 )
68 seqex 11327 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  e.  _V
69 c0ex 9087 . . . . 5  |-  0  e.  _V
7068, 69breldm 5076 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  ~~>  0  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7167, 70syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
72 abelth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
73 abelth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
74 abelth.5 . . 3  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
75 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) )
7619, 71, 72, 73, 74, 75, 67abelthlem8 20357 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R ) )
771, 11, 72, 73, 74abelthlem2 20350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
7877simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
7978adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  S )
8038adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
81 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ i )  =  ( 1 ^ i ) )
82 nn0z 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
83 1exp 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ^ i )  =  1 )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 1 ^ i )  =  1 )
8581, 84sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( x ^ i
)  =  1 )
8680, 85oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 ) )
8786sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
88 sumex 12483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 )  e.  _V
8987, 75, 88fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
9079, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
917a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
9238adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) ) )
9363, 12subcld 9413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
9493ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
951ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
9695adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
97 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC  /\  ( A `
 i )  e.  CC )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  e.  CC )
9894, 96, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  e.  CC )
9998mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 i ) ) )
10092, 99eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) `  i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
10199, 98eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 )  e.  CC )
102 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
103 nn0z 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
104 1exp 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
106102, 105sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
107106oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
108107sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
109 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  ( A `  n )  =  ( A `  m ) )
110109oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( A `  n
)  x.  1 )  =  ( ( A `
 m )  x.  1 ) )
111110cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 )
112108, 111syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 ) )
113 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
114 sumex 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `
 m )  x.  1 )  e.  _V
115112, 113, 114fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 ) )
11678, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `
 m )  x.  1 ) )
11710mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  m )  x.  1 )  =  ( A `  m ) )
118117sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
119116, 118eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
120119oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
12112subidd 9401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  0 )
122120, 121eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  0 )
12367, 122breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
124123adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
1256, 91, 100, 101, 124isumclim 12543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 )  =  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
12690, 125eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
127 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ i )  =  ( y ^
i ) )
12838, 127oveqan12rd 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  y  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) ) )
129128sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
130 sumex 12483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) )  e.  _V
131129, 75, 130fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
132131adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
133 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
y ^ k )  =  ( y ^
i ) )
13434, 133oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
135 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  x.  (
y ^ k ) ) )
136 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  e. 
_V
137134, 135, 136fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
138137adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
139 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
14074, 139eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  C_  CC
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
142141sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
143 expcl 11401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( y ^ i
)  e.  CC )
144142, 143sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
y ^ i )  e.  CC )
14598, 144mulcld 9110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  e.  CC )
1462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  NN0 )
14717adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  e.  CC )
148 expcl 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( y ^ k
)  e.  CC )
149142, 148sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
y ^ k )  e.  CC )
150147, 149mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  e.  CC )
151150, 135fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) : NN0 --> CC )
152151ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  e.  CC )
15344oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
15431, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
15533, 133oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
156 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) )
157 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) )  e. 
_V
158155, 156, 157fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
15931, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
160153, 154, 1593eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) `  i ) )
16129, 160sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) `  i ) )
16225, 161seqfeq 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  =  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) ) )
163162adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  =  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) )
16415adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
165164, 149mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  e.  CC )
166165, 156fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) : NN0 --> CC )
167166ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  i
)  e.  CC )
168158adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  i
)  =  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
16996, 144mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( A `  i
)  x.  ( y ^ i ) )  e.  CC )
1701, 11, 72, 73, 74abelthlem3 20351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
1716, 91, 168, 169, 170isumclim2 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
172 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  i  ->  ( A `  n )  =  ( A `  i ) )
173 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  i  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
i ) )
174172, 173oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  i  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( x ^ i
) ) )
175174cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( x ^
i ) )
176127oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( A `  i
)  x.  ( x ^ i ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
177176sumeq2sdv 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( x ^ i
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
178175, 177syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
179 sumex 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) )  e.  _V
180178, 113, 179fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
181180adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
182171, 181breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( F `
 y ) )
1836, 146, 167, 182clim2ser 12450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  y )  -  (  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) ) )
184 seq1 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  0
) )
1857, 184ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  0
)
186 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  ( A `  k )  =  ( A ` 
0 ) )
187 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  (
y ^ k )  =  ( y ^
0 ) )
188186, 187oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  ( y ^ 0 ) ) )
189 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  0 )  x.  ( y ^
0 ) )  e. 
_V
190188, 156, 189fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ` 
0 )  x.  (
y ^ 0 ) ) )
1912, 190ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ` 
0 )  x.  (
y ^ 0 ) )
192185, 191eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )
193142exp0d 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y ^ 0 )  =  1 )
194193oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  1 ) )
19563adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
196195mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  1 )  =  ( A ` 
0 ) )
197194, 196eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( A ` 
0 ) )
198192, 197syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( A `  0 ) )
199198oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  y
)  -  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 ) )  =  ( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
) )
200183, 199breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  y )  -  ( A ` 
0 ) ) )
201163, 200eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `
 y )  -  ( A `  0 ) ) )
2026, 146, 152, 201clim2ser2 12451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( ( F `  y )  -  ( A ` 
0 ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) ) )
203 seq1 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 ) )
2047, 203ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )
20558, 187oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) ) )
206 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  e.  _V
207205, 135, 206fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) ) )
2082, 207ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) )
209204, 208eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )
210193oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  1 ) )
21112adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC )
212195, 211subcld 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
213212mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  1 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
214210, 213eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
215209, 214syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
216215oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) )  =  ( ( ( F `  y
)  -  ( A `
 0 ) )  +  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ) )
2171, 11, 72, 73, 74, 113abelthlem4 20352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
218217ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
219218, 195, 211npncand 9437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  ( ( F `  y
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
220216, 219eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) )  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
221202, 220breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `
 y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
2226, 91, 138, 145, 221isumclim 12543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) )  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
223132, 222eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
224126, 223oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) )  =  ( ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  -  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ) )
225217adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  F : S --> CC )
226225, 79ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  e.  CC )
227226, 218, 211nnncan2d 9448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  -  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )
228224, 227eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) )  =  ( ( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )
229228fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) ) )
230229breq1d 4224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R  <->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
231230imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  R
) ) )
232231ralbidva 2723 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  R
) ) )
233232rexbidv 2728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) ) )
234233adantr 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) ) )
23576, 234mpbid 203 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614    seq cseq 11325   ^cexp 11384   abscabs 12041    ~~> cli 12280   sum_csu 12481   ballcbl 16690
This theorem is referenced by:  abelth  20359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699
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