Theorem abfii3OLD 4563

Description: Two ways to express the collection of finite intersections of a set A.

Hypothesis

Ref	Expression
abfii2x.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
abfii3OLD	|- |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem abfii3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 2466	. . . . . 6 |- (w e. A -> {w} (_ A)
2		snfiOLD 4433	. . . . . . 7 |- E.z e. om {w} ~~ z
3		eqid 1475	. . . . . . 7 |- w = w
4		snex 2750	. . . . . . . 8 |- {w} e. V
5		sseq1 2082	. . . . . . . . 9 |- (y = {w} -> (y (_ A <-> {w} (_ A))
6		breq1 2622	. . . . . . . . . 10 |- (y = {w} -> (y ~~ z <-> {w} ~~ z))
7	6	rexbidv 1664	. . . . . . . . 9 |- (y = {w} -> (E.z e. om y ~~ z <-> E.z e. om {w} ~~ z))
8		inteq 2536	. . . . . . . . . . 11 |- (y = {w} -> |^|y = |^|{w})
9		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. V
10	9	intsn 2564	. . . . . . . . . . 11 |- |^|{w} = w
11	8, 10	syl6eq 1523	. . . . . . . . . 10 |- (y = {w} -> |^|y = w)
12	11	eqeq2d 1486	. . . . . . . . 9 |- (y = {w} -> (w = |^|y <-> w = w))
13	5, 7, 12	3anbi123d 893	. . . . . . . 8 |- (y = {w} -> ((y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y) <-> ({w} (_ A /\ E.z e. om {w} ~~ z /\ w = w)))
14	4, 13	cla4ev 1869	. . . . . . 7 |- (({w} (_ A /\ E.z e. om {w} ~~ z /\ w = w) -> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
15	2, 3, 14	mp3an23 908	. . . . . 6 |- ({w} (_ A -> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
16	1, 15	syl 10	. . . . 5 |- (w e. A -> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
17		eqeq1 1481	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x = |^|y <-> w = |^|y))
18	17	3anbi3d 899	. . . . . . 7 |- (x = w -> ((y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y) <-> (y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y)))
19	18	exbidv 1279	. . . . . 6 |- (x = w -> (E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y) <-> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y)))
20	9, 19	elab 1897	. . . . 5 |- (w e. {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)} <-> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
21	16, 20	sylibr 200	. . . 4 |- (w e. A -> w e. {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)})
22	21	ssriv 2069	. . 3 |- A (_ {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)}
23		abfii2x.1	. . . 4 |- A e. V
24	23	abfii2OLD 4562	. . 3 |- {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}
25	22, 24	sseqtr 2093	. 2 |- A (_ |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}
26		intmin4 2559	. 2 |- (A (_ |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)} -> |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)})
27	25, 26	ax-mp 7	1 |- |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409  |^|cint 2533   class class class wbr 2619  omcom 3131   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  abfii4OLD 4564  abfii5OLD 4565

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-1o 4133  df-en 4368

Copyright terms: Public domain