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Theorem abianfp 6471
Description: "A most fundamental fixed point theorem" of Alexander Abian (1923-1999), apparently proved in 1998. Let  G `  0  =  x,  G `  1  =  F `  x,  G `  2  =  F `  ( F `
 x ),... be the iterates of  F. The theorem reads (using our variable names): "Let  F be a mapping from a set  A into itself. Then  F has a fixed point if and only if: There exists an element  x of  A such that for every ordinal  v,  G `  v is an element of  A, and if  G `  v is not a fixed point of  F then the  G `  u's are all distinct for every ordinal  u  e.  v." See df-rdg 6423 for the  rec operation. The proof's key idea is to assume that  F does not have a fixed point, then use the Axiom of Replacement in the form of f1dmex 5751 to derive that the class of all ordinal numbers exists, contradicting onprc 4576. Our version of this theorem does not require the hypothesis that  F be a mapping. Reference: http://us2.metamath.org:88/abian-themostfixed.html. For an application of this theorem, see http://groups.google.com/group/sci.stat.math/msg/1737ee1133c24aeb for its use in a proof of Tarski's fixed point theorem. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
abianfp.1  |-  A  e. 
_V
abianfp.2  |-  G  =  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( F `
 z ) ) ,  x )
Assertion
Ref Expression
abianfp  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  <->  E. x  e.  A  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, v, A    z, v, F, x   
v, u, G
Allowed substitution hints:    A( z, u)    F( u)    G( x, z)

Proof of Theorem abianfp
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abianfp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2 abianfp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( F `
 z ) ) ,  x )
31, 2abianfplem 6470 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  On  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( G `  v
)  =  x ) )
43imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( G `  v
)  =  x )
54eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( ( G `  v )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
65biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( x  e.  A  ->  ( G `  v
)  e.  A ) )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  v )  =  x  ->  ( F `  ( G `  v ) )  =  ( F `  x
) )
8 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  v )  =  x  ->  ( G `  v )  =  x )
97, 8eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  v )  =  x  ->  (
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
109biimprcd 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  (
( G `  v
)  =  x  -> 
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) ) )
113, 10sylcom 25 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  On  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) ) )
1211imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) )
1312pm2.24d 135 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )
146, 13jctird 528 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) )
1514ex 423 . . . . 5  |-  ( v  e.  On  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) ) )
1615com13 74 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( v  e.  On  ->  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) ) )
1716ralrimdv 2632 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F `  x
)  =  x  ->  A. v  e.  On  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) )
1817reximia 2648 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  E. x  e.  A  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) ) )
19 onprc 4576 . . . . 5  |-  -.  On  e.  _V
20 r19.26 2675 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  <->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) )
21 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  v ) ) )
22 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  y  =  ( G `  v ) )
2321, 22eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  (
( F `  y
)  =  y  <->  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v ) ) )
2423notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  y  <->  -.  ( F `  ( G `  v ) )  =  ( G `  v
) ) )
2524rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  (
( G `  v
)  e.  A  ->  -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) ) )
2625imim1d 69 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  (
( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  -> 
( ( G `  v )  e.  A  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) )
2726ralimdv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  ( A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) )
28 ralim 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) )  ->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )
2927, 28syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  ( A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `
 v )  =  ( G `  u
) ) ) )
3029imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `
 v )  =  ( G `  u
) ) )
3130com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `
 v )  =  ( G `  u
) ) )
32 rdgfnon 6431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  rec (
( z  e.  _V  |->  ( F `  z ) ) ,  x )  Fn  On
332fneq1i 5338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  On  <->  rec (
( z  e.  _V  |->  ( F `  z ) ) ,  x )  Fn  On )
3432, 33mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  Fn  On
35 ffnfv 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : On --> A  <->  ( G  Fn  On  /\  A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A
) )
3635biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Fn  On  /\  A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A )  ->  G : On --> A )
3734, 36mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  G : On
--> A )
38 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  On  C_  On
3934tz7.48lem 6453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( On  C_  On  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  Fun  `' ( G  |`  On ) )
4038, 39mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u )  ->  Fun  `' ( G  |`  On ) )
41 fnresdm 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  On  ->  ( G  |`  On )  =  G )
4234, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  |`  On )  =  G
4342cnveqi 4856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( G  |`  On )  =  `' G
4443funeqi 5275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  `' ( G  |`  On )  <->  Fun  `' G )
4540, 44sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u )  ->  Fun  `' G )
4637, 45anim12i 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  -> 
( G : On --> A  /\  Fun  `' G
) )
47 df-f1 5260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : On -1-1-> A  <->  ( G : On --> A  /\  Fun  `' G ) )
4846, 47sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  G : On -1-1-> A )
49 f1dmex 5751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : On -1-1-> A  /\  A  e.  _V )  ->  On  e.  _V )
5048, 1, 49sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  On  e.  _V )
5150ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u )  ->  On  e.  _V ) )
5231, 51syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  On  e.  _V ) )
5352exp3acom23 1362 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  On  e.  _V ) ) )
5453imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  On  e.  _V ) )
5520, 54sylbi 187 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  ->  On  e.  _V ) )
5619, 55mtoi 169 . . . 4  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  -.  A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y )
5756rexlimivw 2663 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  -.  A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y )
58 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
59 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
6058, 59eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  y )  =  y ) )
6160cbvrexv 2765 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  <->  E. y  e.  A  ( F `  y )  =  y )
62 dfrex2 2556 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ( F `  y )  =  y  <->  -.  A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y )
6361, 62bitr2i 241 . . 3  |-  ( -. 
A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )
6457, 63sylib 188 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )
6518, 64impbii 180 1  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  <->  E. x  e.  A  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   `'ccnv 4688    |` cres 4691   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
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