Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abladdsub4 Unicode version

 Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 ablgrp 15110 . . . 4
3 simp2l 981 . . . 4
4 simp2r 982 . . . 4
5 ablsubadd.b . . . . 5
6 ablsubadd.p . . . . 5
75, 6grpcl 14511 . . . 4
82, 3, 4, 7syl3anc 1182 . . 3
9 simp3l 983 . . . 4
10 simp3r 984 . . . 4
115, 6grpcl 14511 . . . 4
122, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . 3
135, 6grpcl 14511 . . . 4
142, 9, 4, 13syl3anc 1182 . . 3
15 ablsubadd.m . . . 4
165, 15grpsubrcan 14563 . . 3
172, 8, 12, 14, 16syl13anc 1184 . 2
18 simp1 955 . . . . 5
195, 6, 15ablsub4 15130 . . . . 5
2018, 3, 4, 9, 4, 19syl122anc 1191 . . . 4
21 eqid 2296 . . . . . . 7
225, 21, 15grpsubid 14566 . . . . . 6
232, 4, 22syl2anc 642 . . . . 5
2423oveq2d 5890 . . . 4
255, 15grpsubcl 14562 . . . . . 6
262, 3, 9, 25syl3anc 1182 . . . . 5
275, 6, 21grprid 14529 . . . . 5
282, 26, 27syl2anc 642 . . . 4
2920, 24, 283eqtrd 2332 . . 3
305, 6, 15ablsub4 15130 . . . . 5
3118, 9, 10, 9, 4, 30syl122anc 1191 . . . 4
325, 21, 15grpsubid 14566 . . . . . 6
332, 9, 32syl2anc 642 . . . . 5
3433oveq1d 5889 . . . 4
355, 15grpsubcl 14562 . . . . . 6
362, 10, 4, 35syl3anc 1182 . . . . 5
375, 6, 21grplid 14528 . . . . 5
382, 36, 37syl2anc 642 . . . 4
3931, 34, 383eqtrd 2332 . . 3
4029, 39eqeq12d 2310 . 2
4117, 40bitr3d 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  cgrp 14378  csg 14381  cabel 15106 This theorem is referenced by:  lmodvaddsub4  15693 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108
 Copyright terms: Public domain W3C validator