Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac Structured version   Unicode version

Theorem ablfac 15648
 Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b
ablfac.c SubGrp s CycGrp pGrp
ablfac.1
ablfac.2
Assertion
Ref Expression
ablfac Word DProd DProd
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ablfac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . . 4
2 ablgrp 15419 . . . 4
3 ablfac.b . . . . 5
43subgid 14948 . . . 4 SubGrp
5 ablfac.c . . . . 5 SubGrp s CycGrp pGrp
6 ablfac.2 . . . . 5
7 eqid 2438 . . . . 5
8 eqid 2438 . . . . 5
9 eqid 2438 . . . . 5
10 eqid 2438 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
113, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 15645 . . . 4 SubGrp SubGrp Word DProd DProd Word DProd DProd
121, 2, 4, 114syl 20 . . 3 SubGrp Word DProd DProd Word DProd DProd
133, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem3 15647 . . 3 SubGrp Word DProd DProd
1412, 13eqnetrrd 2623 . 2 Word DProd DProd
15 rabn0 3649 . 2 Word DProd DProd Word DProd DProd
1614, 15sylib 190 1 Word DProd DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708  crab 2711   cin 3321  c0 3630   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cdm 4880   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cexp 11384  chash 11620  Word cword 11719   cdivides 12854  cprime 13081   cpc 13212  cbs 13471   ↾s cress 13472  cgrp 14687  SubGrpcsubg 14940  cod 15165   pGrp cpgp 15167  cabel 15415  CycGrpccyg 15489   DProd cdprd 15556 This theorem is referenced by:  ablfac2  15649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-ga 15069  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-od 15169  df-gex 15170  df-pgp 15171  df-lsm 15272  df-pj1 15273  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-cyg 15490  df-dprd 15558
 Copyright terms: Public domain W3C validator