MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac Structured version   Unicode version

Theorem ablfac 15648
Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac.c  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
ablfac.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ablfac  |-  ( ph  ->  E. s  e. Word  C
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
Distinct variable groups:    s, r, B    C, s    ph, s    G, r, s
Allowed substitution hints:    ph( r)    C( r)

Proof of Theorem ablfac
Dummy variables  p  x  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 15419 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 ablfac.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 14948 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
5 ablfac.c . . . . 5  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
6 ablfac.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
7 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
8 eqid 2438 . . . . 5  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
9 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( p  e.  { w  e. 
Prime  |  w  ||  ( # `
 B ) } 
|->  { x  e.  B  |  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )  =  ( p  e.  { w  e. 
Prime  |  w  ||  ( # `
 B ) } 
|->  { x  e.  B  |  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( g  e.  (SubGrp `  G
)  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  g ) } )  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
113, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 15645 . . . 4  |-  ( B  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( (
g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } ) `  B )  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  B ) } )
121, 2, 4, 114syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  g ) } ) `  B
)  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
133, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem3 15647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  g ) } ) `  B
)  =/=  (/) )
1412, 13eqnetrrd 2623 . 2  |-  ( ph  ->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  B ) }  =/=  (/) )
15 rabn0 3649 . 2  |-  ( { s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e. Word  C ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
1614, 15sylib 190 1  |-  ( ph  ->  E. s  e. Word  C
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   {crab 2711    i^i cin 3321   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   ^cexp 11384   #chash 11620  Word cword 11719    || cdivides 12854   Primecprime 13081    pCnt cpc 13212   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   Grpcgrp 14687  SubGrpcsubg 14940   odcod 15165   pGrp cpgp 15167   Abelcabel 15415  CycGrpccyg 15489   DProd cdprd 15556
This theorem is referenced by:  ablfac2  15649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-ga 15069  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-od 15169  df-gex 15170  df-pgp 15171  df-lsm 15272  df-pj1 15273  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-cyg 15490  df-dprd 15558
  Copyright terms: Public domain W3C validator