Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Structured version   Unicode version

Theorem ablfac1c 15630
 Description: The factors of ablfac1b 15629 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b
ablfac1.o
ablfac1.s
ablfac1.g
ablfac1.f
ablfac1.1
ablfac1c.d
ablfac1.2
Assertion
Ref Expression
ablfac1c DProd
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2
2 ablfac1.b . . . 4
32dprdssv 15575 . . 3 DProd
43a1i 11 . 2 DProd
5 ssfi 7330 . . . . . 6 DProd DProd
61, 3, 5sylancl 645 . . . . 5 DProd
7 hashcl 11640 . . . . 5 DProd DProd
86, 7syl 16 . . . 4 DProd
9 hashcl 11640 . . . . 5
101, 9syl 16 . . . 4
11 ablfac1.o . . . . . . 7
12 ablfac1.s . . . . . . 7
13 ablfac1.g . . . . . . 7
14 ablfac1.1 . . . . . . 7
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 15629 . . . . . 6 DProd
16 dprdsubg 15583 . . . . . 6 DProd DProd SubGrp
1715, 16syl 16 . . . . 5 DProd SubGrp
182lagsubg 15003 . . . . 5 DProd SubGrp DProd
1917, 1, 18syl2anc 644 . . . 4 DProd
20 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11
2220, 21elrab2 3095 . . . . . . . . . 10
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11
2423sseld 3348 . . . . . . . . . 10
2522, 24syl5bir 211 . . . . . . . . 9
2625impl 605 . . . . . . . 8
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 15628 . . . . . . . . . . 11
28 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
292, 28eqeltri 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029rabex 4355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130, 12dmmpti 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3315, 32dprdf2 15566 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
3433ffvelrnda 5871 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
3515adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
3631a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
3835, 36, 37dprdub 15584 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
3917adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp
40 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s DProd s DProd
4140subsubg 14964 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp SubGrps DProd SubGrp DProd
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrps DProd SubGrp DProd
4334, 38, 42mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrps DProd
4440subgbas 14949 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp DProd s DProd
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd s DProd
466adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
4745, 46eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13 s DProd
48 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . 14 s DProd s DProd
4948lagsubg 15003 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrps DProd s DProd s DProd
5043, 47, 49syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 s DProd
5145fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12 DProd s DProd
5250, 51breqtrrd 4239 . . . . . . . . . . 11 DProd
5327, 52eqbrtrrd 4235 . . . . . . . . . 10 DProd
5414sselda 3349 . . . . . . . . . . 11
558nn0zd 10374 . . . . . . . . . . . 12 DProd
5655adantr 453 . . . . . . . . . . 11 DProd
57 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
58 ablgrp 15418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
592grpbn0 14835 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6013, 58, 593syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 hashnncl 11646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
621, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6360, 62mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
6557, 64pccld 13225 . . . . . . . . . . . 12
6654, 65syldan 458 . . . . . . . . . . 11
67 pcdvdsb 13243 . . . . . . . . . . 11 DProd DProd DProd
6854, 56, 66, 67syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 DProd DProd
6953, 68mpbird 225 . . . . . . . . 9 DProd
7069adantlr 697 . . . . . . . 8 DProd
7126, 70syldan 458 . . . . . . 7 DProd
72 pceq0 13245 . . . . . . . . . 10
7357, 64, 72syl2anc 644 . . . . . . . . 9
7473biimpar 473 . . . . . . . 8
75 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675subg0cl 14953 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd SubGrp DProd
77 ne0i 3635 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd
7817, 76, 773syl 19 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
79 hashnncl 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd DProd
806, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 DProd DProd
8178, 80mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12 DProd
8281adantr 453 . . . . . . . . . . 11 DProd
8357, 82pccld 13225 . . . . . . . . . 10 DProd
8483nn0ge0d 10278 . . . . . . . . 9 DProd
8584adantr 453 . . . . . . . 8 DProd
8674, 85eqbrtrd 4233 . . . . . . 7 DProd
8771, 86pm2.61dan 768 . . . . . 6 DProd
8887ralrimiva 2790 . . . . 5 DProd
8910nn0zd 10374 . . . . . 6
90 pc2dvds 13253 . . . . . 6 DProd DProd DProd
9189, 55, 90syl2anc 644 . . . . 5 DProd DProd
9288, 91mpbird 225 . . . 4 DProd
93 dvdseq 12898 . . . 4 DProd DProd DProd DProd
948, 10, 19, 92, 93syl22anc 1186 . . 3 DProd
95 hashen 11632 . . . 4 DProd DProd DProd
966, 1, 95syl2anc 644 . . 3 DProd DProd
9794, 96mpbid 203 . 2 DProd
98 fisseneq 7321 . 2 DProd DProd DProd
991, 4, 97, 98syl3anc 1185 1 DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wral 2706  crab 2710  cvv 2957   wss 3321  c0 3629   class class class wbr 4213   cmpt 4267   cdm 4879  cfv 5455  (class class class)co 6082   cen 7107  cfn 7110  cc0 8991   cle 9122  cn 10001  cn0 10222  cz 10283  cexp 11383  chash 11619   cdivides 12853  cprime 13080   cpc 13211  cbs 13470   ↾s cress 13471  c0g 13724  cgrp 14686  SubGrpcsubg 14939  cod 15164  cabel 15414   DProd cdprd 15555 This theorem is referenced by:  ablfaclem2  15645 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-disj 4184  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-acn 7830  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-prm 13081  df-pc 13212  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-eqg 14944  df-ghm 15005  df-gim 15047  df-ga 15068  df-cntz 15117  df-oppg 15143  df-od 15168  df-lsm 15271  df-pj1 15272  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-dprd 15557
 Copyright terms: Public domain W3C validator