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Theorem ablfac1eulem 15307
Description: Lemma for ablfac1eu 15308. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
ablfac1eulem.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
ablfac1eulem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    P, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    P( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . 2  |-  A  C_  A
2 ablfac1eulem.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 difeq1 3287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
5 0dif 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  \  { P } )  =  (/)
64, 5syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  (/) )
76reseq2d 4955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
8 res0 4959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  |`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  (/) )
109oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
1110fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) )
1211breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
1312notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) )
143, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
(/) ) ) ) ) ) )
16 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
17 difeq1 3287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  { P } )  =  ( z  \  { P } ) )
1817reseq2d 4955 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )
1918oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
2019fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
2120breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2221notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2316, 22imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
25 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  C_  A 
<->  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )
26 difeq1 3287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  \  { P } )  =  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
2726reseq2d 4955 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )
2827oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )
2928fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
3029breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) ) )
3130notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
3225, 31imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (
z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
3332imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
34 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
35 difeq1 3287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  \  { P } )  =  ( A  \  { P } ) )
3635reseq2d 4955 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) )
3736oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) )
3837fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
3938breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4039notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4134, 40imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P }
) ) ) ) ) ) )
4241imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
44 nprmdvds1 12790 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
47 ablgrp 15094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
48 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4948dprd0 15266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
5150simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
5251fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  ( # `  {
( 0g `  G
) } ) )
53 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
54 hashsng 11356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
5652, 55syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  1 )
5756breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) )  <-> 
P  ||  1 ) )
5845, 57mtbird 292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) )
5958a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
60 ssun1 3338 . . . . . . . . . 10  |-  z  C_  ( z  u.  {
q } )
61 sstr 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  ( z  u.  { q } )  /\  ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A )  -> 
z  C_  A )
6260, 61mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  z  C_  A )
6362imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
6564simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
6765, 66dprdf2 15242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
69 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } )  C_  (
z  u.  { q } )
70 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  u.  {
q } )  C_  A )
7169, 70syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  C_  A )
72 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )
)
7368, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) --> (SubGrp `  G ) )
74 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  q  e.  z
)
75 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  z )
7674, 75sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  i^i  {
q } )  =  (/) )
7776difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  i^i 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
78 difindir 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q }  \  { P } ) )
7977, 78, 53eqtr3g 2338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q } 
\  { P }
) )  =  (/) )
80 difundir 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) )
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) ) )
82 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
8365adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  T )
8466adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  T  =  A )
8583, 84, 71dprdres 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
8685simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )
8773, 79, 81, 82, 86dprdsplit 15283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )  =  ( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
8887fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
89 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
90 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  =  ( ( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9173, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  =  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )
92 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z 
C_  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( z  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
9360, 92mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9486, 91, 93dprdres 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) )
9594simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) )
96 dprdsubg 15259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
98 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { q }  C_  ( z  u.  { q } )
99 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { q }  C_  (
z  u.  { q } )  ->  ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
10098, 99mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( { q } 
\  { P }
)  C_  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )
10186, 91, 100dprdres 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
102101simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
103 dprdsubg 15259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  ->  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
10586, 91, 93, 100, 79, 48dprddisj2 15274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  =  { ( 0g
`  G ) } )
10686, 91, 93, 100, 79, 89dprdcntz2 15273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
107 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
109 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( Base `  G
)
110109dprdssv 15251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
111 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
112108, 110, 111sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
113109dprdssv 15251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
114 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
115108, 113, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
11682, 48, 89, 97, 104, 105, 106, 112, 115lsmhash 15014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
117 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
11893, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
119118oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
120119fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
121 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  ->  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
122100, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
123122oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
124123fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) ) )
125120, 124oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
12688, 116, 1253eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
127126breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
12843adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  P  e.  Prime )
129109dprdssv 15251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
130 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
131108, 129, 130sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
132 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
134133nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
135109dprdssv 15251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
136 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
137108, 135, 136sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e. 
Fin )
138 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
139137, 138syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
140139nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
141 euclemma 12787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
142128, 134, 140, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
143127, 142bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
14445ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  1
)
145 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  q  =  P )
146145sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  { q }  =  { P } )
147146difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  ( { P }  \  { P } ) )
148 difid 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { P }  \  { P } )  =  (/)
149147, 148syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  (/) )
150149reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
151150, 8syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  (/) )
152151oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
15351ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
154152, 153eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
155154fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  { ( 0g `  G ) } ) )
156155, 55syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  1 )
157156breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  1 ) )
158144, 157mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
159 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
160159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  A  C_  Prime )
16198, 70syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  { q }  C_  A )
162 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  q  e. 
_V
163162snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  A  <->  { q }  C_  A )
164161, 163sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  A )
165160, 164sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  Prime )
166 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
167164, 166syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  C  e.  NN0 )
168 prmdvdsexpr 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  q  e.  Prime  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( q ^ C
)  ->  P  =  q ) )
169128, 165, 167, 168syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  P  =  q ) )
170 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  =  q  <->  q  =  P )
171169, 170syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  q  =  P ) )
172171necon3ad 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( q  =/=  P  ->  -.  P  ||  (
q ^ C ) ) )
173172imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( q ^ C ) )
174 disjsn2 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =/=  P  ->  ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) )
175174adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( { q }  i^i  { P }
)  =  (/) )
176 disj3 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) 
<->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
177175, 176sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
178177reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( T  |`  { q } )  =  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) )
179178oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
18065ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  G dom DProd  T )
18166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  dom  T  =  A )
182164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
q  e.  A )
183180, 181, 182dpjlem 15286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( T `
 q ) )
184179, 183eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( T `  q
) )
185184fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
186 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
187164, 186syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
188187adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
189185, 188eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  ( q ^ C ) )
190189breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( q ^ C ) ) )
191173, 190mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
192158, 191pm2.61dane 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
193 orel2 372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  ->  ( ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
194192, 193syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
195143, 194sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
196195con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
197196expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
198197a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
19963, 198syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
200199expcom 424 . . . . . 6  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
201200adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
202201a2d 23 . . . 4  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
20315, 24, 33, 42, 59, 202findcard2s 7099 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2042, 203mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
2051, 204mpi 16 1  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   #chash 11337    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615  Cntzccntz 14791   odcod 14840   LSSumclsm 14945   Abelcabel 15090   DProd cdprd 15231
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  15308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-dprd 15233
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