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Theorem ablfac1eulem 15632
Description: Lemma for ablfac1eu 15633. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
ablfac1eulem.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
ablfac1eulem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    P, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    P( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3369 . 2  |-  A  C_  A
2 ablfac1eulem.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 difeq1 3460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
5 0dif 3701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  \  { P } )  =  (/)
64, 5syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  (/) )
76reseq2d 5148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
8 res0 5152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  |`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  (/) )
109oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
1110fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) )
1211breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
1312notbid 287 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) )
143, 13imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) ) )
1514imbi2d 309 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
(/) ) ) ) ) ) )
16 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
17 difeq1 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  { P } )  =  ( z  \  { P } ) )
1817reseq2d 5148 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )
1918oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
2019fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
2120breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2221notbid 287 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2316, 22imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 309 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
25 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  C_  A 
<->  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )
26 difeq1 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  \  { P } )  =  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
2726reseq2d 5148 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )
2827oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )
2928fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
3029breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) ) )
3130notbid 287 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
3225, 31imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (
z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
3332imbi2d 309 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
34 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
35 difeq1 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  \  { P } )  =  ( A  \  { P } ) )
3635reseq2d 5148 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) )
3736oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) )
3837fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
3938breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4039notbid 287 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4134, 40imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P }
) ) ) ) ) ) )
4241imbi2d 309 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
44 nprmdvds1 13113 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
47 ablgrp 15419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
48 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4948dprd0 15591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
5046, 47, 493syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
5150simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
5251fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  ( # `  {
( 0g `  G
) } ) )
53 fvex 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
54 hashsng 11649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
5652, 55syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  1 )
5756breq2d 4226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) )  <-> 
P  ||  1 ) )
5845, 57mtbird 294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) )
5958a1d 24 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
60 ssun1 3512 . . . . . . . . . 10  |-  z  C_  ( z  u.  {
q } )
61 sstr 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  ( z  u.  { q } )  /\  ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A )  -> 
z  C_  A )
6260, 61mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  z  C_  A )
6362imim1i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
6564simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
6765, 66dprdf2 15567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
6867adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
69 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  u.  {
q } )  C_  A )
7069ssdifssd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  C_  A )
71 fssres 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )
)
7268, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) --> (SubGrp `  G ) )
73 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  q  e.  z
)
74 disjsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  z )
7573, 74sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  i^i  {
q } )  =  (/) )
7675difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  i^i 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
77 difindir 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q }  \  { P } ) )
7876, 77, 53eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q } 
\  { P }
) )  =  (/) )
79 difundir 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) ) )
81 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
8265adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  T )
8366adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  T  =  A )
8482, 83, 70dprdres 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
8584simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )
8672, 78, 80, 81, 85dprdsplit 15608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )  =  ( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
8786fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
88 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
89 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  =  ( ( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9072, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  =  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )
91 ssdif 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z 
C_  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( z  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
9260, 91mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9385, 90, 92dprdres 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) )
9493simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) )
95 dprdsubg 15584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
97 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { q }  C_  ( z  u.  { q } )
98 ssdif 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { q }  C_  (
z  u.  { q } )  ->  ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
9997, 98mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( { q } 
\  { P }
)  C_  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )
10085, 90, 99dprdres 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
101100simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
102 dprdsubg 15584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  ->  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
10485, 90, 92, 99, 78, 48dprddisj2 15599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  =  { ( 0g
`  G ) } )
10585, 90, 92, 99, 78, 88dprdcntz2 15598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
106 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
107106adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
108 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( Base `  G
)
109108dprdssv 15576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
110 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
111107, 109, 110sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
112108dprdssv 15576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
113 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
114107, 112, 113sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
11581, 48, 88, 96, 103, 104, 105, 111, 114lsmhash 15339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
116 resabs1 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
11792, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
118117oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
119118fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
120 resabs1 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  ->  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
12199, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
122121oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
123122fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) ) )
124119, 123oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
12587, 115, 1243eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
126125breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
12743adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  P  e.  Prime )
128108dprdssv 15576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
129 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
130107, 128, 129sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
131 hashcl 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
133132nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
134108dprdssv 15576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
135 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
136107, 134, 135sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e. 
Fin )
137 hashcl 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
139138nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
140 euclemma 13110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
141127, 133, 139, 140syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
142126, 141bitrd 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
14345ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  1
)
144 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  q  =  P )
145144sneqd 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  { q }  =  { P } )
146145difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  ( { P }  \  { P } ) )
147 difid 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { P }  \  { P } )  =  (/)
148146, 147syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  (/) )
149148reseq2d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
150149, 8syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  (/) )
151150oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
15251ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
153151, 152eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
154153fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  { ( 0g `  G ) } ) )
155154, 55syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  1 )
156155breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  1 ) )
157143, 156mtbird 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
158 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
159158adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  A  C_  Prime )
16069unssbd 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  { q }  C_  A )
161 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  q  e. 
_V
162161snss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  A  <->  { q }  C_  A )
163160, 162sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  A )
164159, 163sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  Prime )
165 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
166163, 165syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  C  e.  NN0 )
167 prmdvdsexpr 13118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  q  e.  Prime  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( q ^ C
)  ->  P  =  q ) )
168127, 164, 166, 167syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  P  =  q ) )
169 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  =  q  <->  q  =  P )
170168, 169syl6ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  q  =  P ) )
171170necon3ad 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( q  =/=  P  ->  -.  P  ||  (
q ^ C ) ) )
172171imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( q ^ C ) )
173 disjsn2 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =/=  P  ->  ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) )
174173adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( { q }  i^i  { P }
)  =  (/) )
175 disj3 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) 
<->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
176174, 175sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
177176reseq2d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( T  |`  { q } )  =  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) )
178177oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
17965ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  G dom DProd  T )
18066ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  dom  T  =  A )
181163adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
q  e.  A )
182179, 180, 181dpjlem 15611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( T `
 q ) )
183178, 182eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( T `  q
) )
184183fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
185 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
186163, 185syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
187186adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
188184, 187eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  ( q ^ C ) )
189188breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( q ^ C ) ) )
190172, 189mtbird 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
191157, 190pm2.61dane 2684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
192 orel2 374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  ->  ( ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
194142, 193sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
195194con3d 128 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
196195expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
197196a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
19863, 197syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
199198expcom 426 . . . . . 6  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
200199adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
201200a2d 25 . . . 4  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
20215, 24, 33, 42, 59, 201findcard2s 7351 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2032, 202mpcom 35 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
2041, 203mpi 17 1  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    |` cres 4882   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   1c1 8993    x. cmul 8997   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ^cexp 11384   #chash 11620    || cdivides 12854   Primecprime 13081    pCnt cpc 13212   Basecbs 13471   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687  SubGrpcsubg 14940  Cntzccntz 15116   odcod 15165   LSSumclsm 15270   Abelcabel 15415   DProd cdprd 15556
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  15633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-pj1 15273  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-dprd 15558
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