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Theorem ablfac1eulem 15323
Description: Lemma for ablfac1eu 15324. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
ablfac1eulem.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
ablfac1eulem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    P, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    P( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . 2  |-  A  C_  A
2 ablfac1eulem.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
5 0dif 3538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  \  { P } )  =  (/)
64, 5syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  (/) )
76reseq2d 4971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
8 res0 4975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  |`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  (/) )
109oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
1110fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) )
1211breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
1312notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) )
143, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
(/) ) ) ) ) ) )
16 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
17 difeq1 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  { P } )  =  ( z  \  { P } ) )
1817reseq2d 4971 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )
1918oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
2019fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
2120breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2221notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2316, 22imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
25 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  C_  A 
<->  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )
26 difeq1 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  \  { P } )  =  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
2726reseq2d 4971 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )
2827oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )
2928fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
3029breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) ) )
3130notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
3225, 31imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (
z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
3332imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
34 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
35 difeq1 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  \  { P } )  =  ( A  \  { P } ) )
3635reseq2d 4971 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) )
3736oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) )
3837fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
3938breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4039notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4134, 40imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P }
) ) ) ) ) ) )
4241imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
44 nprmdvds1 12806 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
47 ablgrp 15110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4948dprd0 15282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
5150simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
5251fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  ( # `  {
( 0g `  G
) } ) )
53 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
54 hashsng 11372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
5652, 55syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  1 )
5756breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) )  <-> 
P  ||  1 ) )
5845, 57mtbird 292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) )
5958a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
60 ssun1 3351 . . . . . . . . . 10  |-  z  C_  ( z  u.  {
q } )
61 sstr 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  ( z  u.  { q } )  /\  ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A )  -> 
z  C_  A )
6260, 61mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  z  C_  A )
6362imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
6564simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
6765, 66dprdf2 15258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
69 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } )  C_  (
z  u.  { q } )
70 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  u.  {
q } )  C_  A )
7169, 70syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  C_  A )
72 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )
)
7368, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) --> (SubGrp `  G ) )
74 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  q  e.  z
)
75 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  z )
7674, 75sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  i^i  {
q } )  =  (/) )
7776difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  i^i 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
78 difindir 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q }  \  { P } ) )
7977, 78, 53eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q } 
\  { P }
) )  =  (/) )
80 difundir 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) )
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) ) )
82 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
8365adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  T )
8466adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  T  =  A )
8583, 84, 71dprdres 15279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
8685simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )
8773, 79, 81, 82, 86dprdsplit 15299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )  =  ( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
8887fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
89 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
90 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  =  ( ( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9173, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  =  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )
92 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z 
C_  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( z  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
9360, 92mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9486, 91, 93dprdres 15279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) )
9594simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) )
96 dprdsubg 15275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
98 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { q }  C_  ( z  u.  { q } )
99 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { q }  C_  (
z  u.  { q } )  ->  ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
10098, 99mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( { q } 
\  { P }
)  C_  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )
10186, 91, 100dprdres 15279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
102101simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
103 dprdsubg 15275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  ->  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
10586, 91, 93, 100, 79, 48dprddisj2 15290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  =  { ( 0g
`  G ) } )
10686, 91, 93, 100, 79, 89dprdcntz2 15289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
107 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
109 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( Base `  G
)
110109dprdssv 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
111 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
112108, 110, 111sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
113109dprdssv 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
114 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
115108, 113, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
11682, 48, 89, 97, 104, 105, 106, 112, 115lsmhash 15030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
117 resabs1 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
11893, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
119118oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
120119fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
121 resabs1 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  ->  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
122100, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
123122oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
124123fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) ) )
125120, 124oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
12688, 116, 1253eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
127126breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
12843adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  P  e.  Prime )
129109dprdssv 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
130 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
131108, 129, 130sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
132 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
134133nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
135109dprdssv 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
136 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
137108, 135, 136sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e. 
Fin )
138 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
139137, 138syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
140139nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
141 euclemma 12803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
142128, 134, 140, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
143127, 142bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
14445ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  1
)
145 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  q  =  P )
146145sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  { q }  =  { P } )
147146difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  ( { P }  \  { P } ) )
148 difid 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { P }  \  { P } )  =  (/)
149147, 148syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  (/) )
150149reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
151150, 8syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  (/) )
152151oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
15351ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
154152, 153eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
155154fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  { ( 0g `  G ) } ) )
156155, 55syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  1 )
157156breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  1 ) )
158144, 157mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
159 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
160159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  A  C_  Prime )
16198, 70syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  { q }  C_  A )
162 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  q  e. 
_V
163162snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  A  <->  { q }  C_  A )
164161, 163sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  A )
165160, 164sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  Prime )
166 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
167164, 166syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  C  e.  NN0 )
168 prmdvdsexpr 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  q  e.  Prime  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( q ^ C
)  ->  P  =  q ) )
169128, 165, 167, 168syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  P  =  q ) )
170 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  =  q  <->  q  =  P )
171169, 170syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  q  =  P ) )
172171necon3ad 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( q  =/=  P  ->  -.  P  ||  (
q ^ C ) ) )
173172imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( q ^ C ) )
174 disjsn2 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =/=  P  ->  ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) )
175174adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( { q }  i^i  { P }
)  =  (/) )
176 disj3 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) 
<->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
177175, 176sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
178177reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( T  |`  { q } )  =  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) )
179178oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
18065ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  G dom DProd  T )
18166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  dom  T  =  A )
182164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
q  e.  A )
183180, 181, 182dpjlem 15302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( T `
 q ) )
184179, 183eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( T `  q
) )
185184fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
186 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
187164, 186syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
188187adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
189185, 188eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  ( q ^ C ) )
190189breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( q ^ C ) ) )
191173, 190mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
192158, 191pm2.61dane 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
193 orel2 372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  ->  ( ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
194192, 193syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
195143, 194sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
196195con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
197196expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
198197a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
19963, 198syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
200199expcom 424 . . . . . 6  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
201200adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
202201a2d 23 . . . 4  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
20315, 24, 33, 42, 59, 202findcard2s 7115 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2042, 203mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
2051, 204mpi 16 1  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   1c1 8754    x. cmul 8758   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120   #chash 11353    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   odcod 14856   LSSumclsm 14961   Abelcabel 15106   DProd cdprd 15247
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  15324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-dprd 15249
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