Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfaclem2 Structured version   Unicode version

Theorem ablfaclem2 15644
 Description: Lemma for ablfac 15646. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b
ablfac.c SubGrp s CycGrp pGrp
ablfac.1
ablfac.2
ablfac.o
ablfac.a
ablfac.s
ablfac.w SubGrp Word DProd DProd
ablfaclem2.f Word
ablfaclem2.q
ablfaclem2.l
ablfaclem2.g ..^
Assertion
Ref Expression
ablfaclem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   ()   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,)

Proof of Theorem ablfaclem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . . 4
2 ablgrp 15417 . . . 4
3 ablfac.b . . . . 5
43subgid 14946 . . . 4 SubGrp
51, 2, 43syl 19 . . 3 SubGrp
6 ablfac.c . . . 4 SubGrp s CycGrp pGrp
7 ablfac.2 . . . 4
8 ablfac.o . . . 4
9 ablfac.a . . . 4
10 ablfac.s . . . 4
11 ablfac.w . . . 4 SubGrp Word DProd DProd
123, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11ablfaclem1 15643 . . 3 SubGrp Word DProd DProd
135, 12syl 16 . 2 Word DProd DProd
14 ablfaclem2.f . . . . . . . . . . . . . 14 Word
1514ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . 13 Word
16 wrdf 11733 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . 12 ..^
18 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
2019feq2d 5581 . . . . . . . . . . . 12 ..^
2117, 20mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
2221ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10
2322anasss 629 . . . . . . . . 9
2423ralrimivva 2798 . . . . . . . 8
25 eqid 2436 . . . . . . . . 9
2625fmpt2x 6417 . . . . . . . 8
2724, 26sylib 189 . . . . . . 7
28 ablfaclem2.l . . . . . . . 8
2928feq2i 5586 . . . . . . 7
3027, 29sylibr 204 . . . . . 6
31 ablfaclem2.g . . . . . . 7 ..^
32 f1of 5674 . . . . . . 7 ..^ ..^
3331, 32syl 16 . . . . . 6 ..^
34 fco 5600 . . . . . 6 ..^ ..^
3530, 33, 34syl2anc 643 . . . . 5 ..^
36 iswrdi 11731 . . . . 5 ..^ Word
3735, 36syl 16 . . . 4 Word
38 ablfaclem2.q . . . . . . . . . . . . . . 15
3938r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . . 14
40 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
419, 40eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
433, 8, 10, 1, 7, 42ablfac1b 15628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 DProd
44 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
453, 44eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4645rabex 4354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4746, 10dmmpti 5574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4943, 48dprdf2 15565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
5049ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
513, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11ablfaclem1 15643 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp Word DProd DProd
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 Word DProd DProd
5339, 52eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd
54 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 DProd DProd
55 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 DProd DProd
5655eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 DProd DProd
5754, 56anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd DProd DProd DProd
5857elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . 14 Word DProd DProd Word DProd DProd
5958simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd DProd DProd
6053, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12 DProd DProd
6160simpld 446 . . . . . . . . . . 11 DProd
62 dprdf 15564 . . . . . . . . . . 11 DProd SubGrp
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp
6463ffvelrnda 5870 . . . . . . . . 9 SubGrp
6564anasss 629 . . . . . . . 8 SubGrp
6663feqmptd 5779 . . . . . . . . 9
6761, 66breqtrd 4236 . . . . . . . 8 DProd
6849feqmptd 5779 . . . . . . . . . 10
6966oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12 DProd DProd
7060simprd 450 . . . . . . . . . . . 12 DProd
7169, 70eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . 11 DProd
7271mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . 10 DProd
7368, 72eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9 DProd
7443, 73breqtrd 4236 . . . . . . . 8 DProd DProd
7565, 67, 74dprd2d2 15602 . . . . . . 7 DProd DProd DProd DProd
7675simpld 446 . . . . . 6 DProd
77 fdm 5595 . . . . . . 7
7830, 77syl 16 . . . . . 6
7976, 78, 31dprdf1o 15590 . . . . 5 DProd DProd DProd
8079simpld 446 . . . 4 DProd
8179simprd 450 . . . . 5 DProd DProd
8275simprd 450 . . . . 5 DProd DProd DProd
8373oveq2d 6097 . . . . . 6 DProd DProd DProd
84 ssid 3367 . . . . . . . 8
8584a1i 11 . . . . . . 7
863, 8, 10, 1, 7, 42, 9, 85ablfac1c 15629 . . . . . 6 DProd
8783, 86eqtr3d 2470 . . . . 5 DProd DProd
8881, 82, 873eqtrd 2472 . . . 4 DProd
89 breq2 4216 . . . . . 6 DProd DProd
90 oveq2 6089 . . . . . . 7 DProd DProd
9190eqeq1d 2444 . . . . . 6 DProd DProd
9289, 91anbi12d 692 . . . . 5 DProd DProd DProd DProd
9392rspcev 3052 . . . 4 Word DProd DProd Word DProd DProd
9437, 80, 88, 93syl12anc 1182 . . 3 Word DProd DProd
95 rabn0 3647 . . 3 Word DProd DProd Word DProd DProd
9694, 95sylibr 204 . 2 Word DProd DProd
9713, 96eqnetrd 2619 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  c0 3628  csn 3814  ciun 4093   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876   cdm 4878   crn 4879   ccom 4882  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cfn 7109  cc0 8990  ..^cfzo 11135  cexp 11382  chash 11618  Word cword 11717   cdivides 12852  cprime 13079   cpc 13210  cbs 13469   ↾s cress 13470  cgrp 14685  SubGrpcsubg 14938  cod 15163   pGrp cpgp 15165  cabel 15413  CycGrpccyg 15487   DProd cdprd 15554 This theorem is referenced by:  ablfaclem3  15645 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-word 11723  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-ga 15067  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-od 15167  df-lsm 15270  df-pj1 15271  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-dprd 15556
 Copyright terms: Public domain W3C validator