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Theorem ablfaclem2 15321
Description: Lemma for ablfac 15323. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac.c  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
ablfac.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac.a  |-  A  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac.w  |-  W  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
ablfaclem2.f  |-  ( ph  ->  F : A -->Word  C )
ablfaclem2.q  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y ) ) )
ablfaclem2.l  |-  L  = 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) )
ablfaclem2.g  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) -1-1-onto-> L )
Assertion
Ref Expression
ablfaclem2  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    s, p, x, y, A    F, s    g, r, s, y, S   
g, p, w, x, B, r, s    O, p, x    C, g, p, s    y, w, C, x    W, p, w, x, y    H, s    ph, p, s, w, x, y    g, G, p, r, s, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( g, r)    A( w, g, r)    B( y)    C( r)    S( x, w, p)    F( x, y, w, g, r, p)    H( x, y, w, g, r, p)    L( x, y, w, g, s, r, p)    O( y, w, g, s, r)    W( g, s, r)

Proof of Theorem ablfaclem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 15094 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 ablfac.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 14623 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
51, 2, 43syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubGrp `  G ) )
6 ablfac.c . . . 4  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
7 ablfac.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
8 ablfac.o . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
9 ablfac.a . . . 4  |-  A  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
10 ablfac.s . . . 4  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
11 ablfac.w . . . 4  |-  W  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
123, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11ablfaclem1 15320 . . 3  |-  ( B  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( W `  B )  =  {
s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
135, 12syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
14 ablfaclem2.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : A -->Word  C )
15 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A -->Word  C  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e. Word  C )
1614, 15sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e. Word  C )
17 wrdf 11419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e. Word  C  ->  ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C )
19 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C  ->  dom  ( F `
 y )  =  ( 0..^ ( # `  ( F `  y
) ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  dom  ( F `  y )  =  ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) )
2120feq2d 5380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  y
) : dom  ( F `  y ) --> C 
<->  ( F `  y
) : ( 0..^ ( # `  ( F `  y )
) ) --> C ) )
2218, 21mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> C )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
) : dom  ( F `  y ) --> C  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) )  ->  ( ( F `  y ) `  z )  e.  C
)
2422, 23sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) )  -> 
( ( F `  y ) `  z
)  e.  C )
2524anasss 628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  z )  e.  C
)
2625ralrimivva 2635 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  dom  ( F `  y ) ( ( F `  y ) `  z
)  e.  C )
27 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  =  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)
2827fmpt2x 6190 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  dom  ( F `
 y ) ( ( F `  y
) `  z )  e.  C  <->  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y )
) --> C )
2926, 28sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) ) --> C )
30 ablfaclem2.l . . . . . . . 8  |-  L  = 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) )
3130feq2i 5384 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C 
<->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) ) --> C )
3229, 31sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C )
33 ablfaclem2.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) -1-1-onto-> L )
34 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( H : ( 0..^ (
# `  L )
)
-1-1-onto-> L  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )
3533, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )
36 fco 5398 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C  /\  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H ) : ( 0..^ (
# `  L )
) --> C )
3732, 35, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H ) : ( 0..^ ( # `  L ) ) --> C )
38 iswrdi 11417 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> C  -> 
( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C )
3937, 38syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C )
40 ablfaclem2.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y ) ) )
4140r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y )
) )
42 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  Prime
439, 42eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  Prime
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
453, 8, 10, 1, 7, 44ablfac1b 15305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
46 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Base `  G )  e.  _V
473, 46eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
_V
4847rabex 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
4948, 10dmmpti 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  S  =  A
5049a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  S  =  A )
5145, 50dprdf2 15242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
52 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S : A --> (SubGrp `  G )  /\  y  e.  A )  ->  ( S `  y )  e.  (SubGrp `  G )
)
5351, 52sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( S `  y )  e.  (SubGrp `  G )
)
543, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11ablfaclem1 15320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S `  y )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( W `  ( S `  y
) )  =  {
s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  ( S `  y ) ) } )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( W `  ( S `  y ) )  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  ( S `
 y ) ) } )
5641, 55eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  ( S `
 y ) ) } )
57 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  ( G dom DProd  s  <->  G dom DProd  ( F `  y ) ) )
58 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  ( G DProd  s )  =  ( G DProd  ( F `  y ) ) )
5958eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  (
( G DProd  s )  =  ( S `  y )  <->  ( G DProd  ( F `  y ) )  =  ( S `
 y ) ) )
6057, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  (
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  ( S `  y ) )  <->  ( G dom DProd  ( F `  y
)  /\  ( G DProd  ( F `  y ) )  =  ( S `
 y ) ) ) )
6160elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  ( S `  y ) ) }  <->  ( ( F `  y )  e. Word  C  /\  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) ) )
6261simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  ( S `  y ) ) }  ->  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) )
6356, 62syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) )
6463simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G dom DProd  ( F `  y
) )
65 dprdf 15241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( F `  y )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> (SubGrp `  G ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> (SubGrp `  G ) )
67 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  y
) : dom  ( F `  y ) --> (SubGrp `  G )  /\  z  e.  dom  ( F `
 y ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  z )  e.  (SubGrp `  G ) )
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) )  -> 
( ( F `  y ) `  z
)  e.  (SubGrp `  G ) )
6968anasss 628 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  z )  e.  (SubGrp `  G ) )
7066feqmptd 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  =  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) )
7164, 70breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G dom DProd  ( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )
7251feqmptd 5575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =  ( y  e.  A  |->  ( S `
 y ) ) )
7370oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( G DProd  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) )
7463simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) )
7573, 74eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )  =  ( S `  y
) )
7675mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( G DProd  ( z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( S `  y
) ) )
7772, 76eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )
7845, 77breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )
7969, 71, 78dprd2d2 15279 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  /\  ( G DProd  ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) ) ) )
8079simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) )
81 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C  ->  dom  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  =  L )
8232, 81syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  =  L )
8380, 82, 33dprdf1o 15267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
)  /\  ( G DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) ) )
8483simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )
8583simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) )
8679simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd  (
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) ) )
8777oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( G DProd  (
y  e.  A  |->  ( G DProd  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) ) ) )
88 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  A  C_  A
8988a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  A )
903, 8, 10, 1, 7, 44, 9, 89ablfac1c 15306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  B )
9187, 90eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )  =  B )
9285, 86, 913eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B )
93 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
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G dom DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) ) )
94 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
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)  =  ( G DProd 
( ( y  e.  A ,  z  e. 
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 z ) )  o.  H ) ) )
9594eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
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s )  =  B  <-> 
( G DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
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) )  =  B ) )
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( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
99 rabn0 3474 . . 3  |-  ( { s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e. Word  C ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
10098, 99sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
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10113, 100eqnetrd 2464 1  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   0cc0 8737  ..^cfzo 10870   ^cexp 11104   #chash 11337  Word cword 11403    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615   odcod 14840   pGrp cpgp 14842   Abelcabel 15090  CycGrpccyg 15164   DProd cdprd 15231
This theorem is referenced by:  ablfaclem3  15322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-word 11409  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-od 14844  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-dprd 15233
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