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Theorem ablfacrp 15544
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups  K ,  L that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfacrp.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfacrp.k  |-  K  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }
ablfacrp.l  |-  L  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }
ablfacrp.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfacrp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ablfacrp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ablfacrp.1  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
ablfacrp.2  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
ablfacrp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
ablfacrp.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
ablfacrp  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  =  {  .0.  }  /\  ( K  .(+)  L )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, O    x, M    x, N    ph, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    .(+) ( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables  a 
b  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6  |-  K  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }
2 ablfacrp.l . . . . . 6  |-  L  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }
31, 2ineq12i 3476 . . . . 5  |-  ( K  i^i  L )  =  ( { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  M }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
4 inrab 3549 . . . . 5  |-  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  M }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )  =  {
x  e.  B  | 
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N ) }
53, 4eqtri 2400 . . . 4  |-  ( K  i^i  L )  =  { x  e.  B  |  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) }
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( od `  G
)
86, 7odcl 15094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
98adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
109nn0zd 10298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1211nnzd 10299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  M  e.  ZZ )
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1514nnzd 10299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  ZZ )
17 dvdsgcd 12963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N )  ->  ( O `  x
)  ||  ( M  gcd  N ) ) )
1810, 13, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N )  ->  ( O `  x
)  ||  ( M  gcd  N ) ) )
19183impia 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( M  gcd  N
) )
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
21203ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
2219, 21breqtrd 4170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  ||  1 )
23 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  e.  B )
24 dvds1 12818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  x )  e.  NN0  ->  ( ( O `  x ) 
||  1  <->  ( O `  x )  =  1 ) )
2523, 8, 243syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  (
( O `  x
)  ||  1  <->  ( O `  x )  =  1 ) )
2622, 25mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  =  1 )
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
28 ablgrp 15337 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
30293ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  G  e.  Grp )
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
327, 31, 6odeq1 15116 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( O `  x )  =  1  <-> 
x  =  .0.  )
)
3330, 23, 32syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  (
( O `  x
)  =  1  <->  x  =  .0.  ) )
3426, 33mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  =  .0.  )
35 elsn 3765 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
3634, 35sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  e.  {  .0.  } )
3736rabssdv 3359 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) }  C_  {  .0.  } )
385, 37syl5eqss 3328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  {  .0.  } )
397, 6oddvdssubg 15390 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }  e.  (SubGrp `  G ) )
4027, 12, 39syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }  e.  (SubGrp `  G
) )
411, 40syl5eqel 2464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
4231subg0cl 14872 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  K )
4341, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
447, 6oddvdssubg 15390 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
4527, 15, 44syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
) )
462, 45syl5eqel 2464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  (SubGrp `  G ) )
4731subg0cl 14872 . . . . . 6  |-  ( L  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  L )
4846, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
49 elin 3466 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  ( K  i^i  L )  <->  (  .0.  e.  K  /\  .0.  e.  L
) )
5043, 48, 49sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( K  i^i  L ) )
5150snssd 3879 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( K  i^i  L ) )
5238, 51eqssd 3301 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  =  {  .0.  } )
53 ablfacrp.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
5453lsmsubg2 15394 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  K  e.  (SubGrp `  G )  /\  L  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G
) )
5527, 41, 46, 54syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G
) )
566subgss 14865 . . . 4  |-  ( ( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( K  .(+)  L ) 
C_  B )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L ) 
C_  B )
58 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
596, 58mulg1 14817 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  g )
6059adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  g )
61 bezout 12962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6212, 15, 61syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6362adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6420ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
6564eqeq1d 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) ) )
6612ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  ZZ )
67 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  a  e.  ZZ )
6866, 67zmulcld 10306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  a )  e.  ZZ )
6968zcnd 10301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  a )  e.  CC )
7015ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  ZZ )
71 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  b  e.  ZZ )
7270, 71zmulcld 10306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  b )  e.  ZZ )
7372zcnd 10301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  b )  e.  CC )
7469, 73addcomd 9193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  =  ( ( N  x.  b )  +  ( M  x.  a ) ) )
7574oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g ) )
7629ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  G  e.  Grp )
77 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  g  e.  B )
78 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
796, 58, 78mulgdir 14835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N  x.  b )  e.  ZZ  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )
)  ->  ( (
( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8076, 72, 68, 77, 79syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8175, 80eqtrd 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
8346ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  L  e.  (SubGrp `  G ) )
846, 58mulgcl 14827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  x.  b
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )  ->  ( ( N  x.  b ) (.g `  G
) g )  e.  B )
8576, 72, 77, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g )  e.  B )
86 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
8711, 14nnmulcld 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
8887nnnn0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN0 )
8986, 88eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
90 fvex 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  G )  e.  _V
916, 90eqeltri 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  B  e. 
_V
92 hashclb 11561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
9489, 93sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
9594ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  Fin )
966, 7oddvds2 15122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  g  e.  B )  ->  ( O `  g )  ||  ( # `  B
) )
9776, 95, 77, 96syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( # `
 B ) )
9886ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
9997, 98breqtrd 4170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )
)
1006, 7odcl 15094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  B  ->  ( O `  g )  e.  NN0 )
101100ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  e.  NN0 )
102101nn0zd 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  e.  ZZ )
10366, 70zmulcld 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
104 dvdsmultr1 12804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  g
)  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )  ->  ( O `  g
)  ||  ( ( M  x.  N )  x.  b ) ) )
105102, 103, 71, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  b ) ) )
10699, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  b ) )
10766zcnd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  CC )
10870zcnd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  CC )
10971zcnd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  b  e.  CC )
110107, 108, 109mulassd 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  N )  x.  b )  =  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) )
111106, 110breqtrd 4170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) )
1126, 7, 58odmulgid 15110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  B  /\  ( N  x.  b
)  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) )  ||  M  <->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) ) )
11376, 77, 72, 66, 112syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g ) )  ||  M  <->  ( O `  g ) 
||  ( M  x.  ( N  x.  b
) ) ) )
114111, 113mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G
) g ) ) 
||  M )
115 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) ) )
116115breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g )  ->  ( ( O `
 x )  ||  M 
<->  ( O `  (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) )  ||  M
) )
117116, 1elrab2 3030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  K  <->  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  B  /\  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) )  ||  M
) )
11885, 114, 117sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g )  e.  K )
1196, 58mulgcl 14827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )  ->  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g )  e.  B )
12076, 68, 77, 119syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g )  e.  B )
121 dvdsmultr1 12804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  g
)  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )  ->  ( O `  g
)  ||  ( ( M  x.  N )  x.  a ) ) )
122102, 103, 67, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  a ) ) )
12399, 122mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  a ) )
124 zcn 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
125124ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  a  e.  CC )
126 mulass 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  (
( M  x.  N
)  x.  a )  =  ( M  x.  ( N  x.  a
) ) )
127 mul12 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( M  x.  ( N  x.  a ) )  =  ( N  x.  ( M  x.  a )
) )
128126, 127eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  (
( M  x.  N
)  x.  a )  =  ( N  x.  ( M  x.  a
) ) )
129107, 108, 125, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  N )  x.  a )  =  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) )
130123, 129breqtrd 4170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) )
1316, 7, 58odmulgid 15110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  B  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  ||  N  <->  ( O `  g )  ||  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) ) )
13276, 77, 68, 70, 131syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g ) )  ||  N  <->  ( O `  g ) 
||  ( N  x.  ( M  x.  a
) ) ) )
133130, 132mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g ) ) 
||  N )
134 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
135134breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g )  ->  ( ( O `
 x )  ||  N 
<->  ( O `  (
( M  x.  a
) (.g `  G ) g ) )  ||  N
) )
136135, 2elrab2 3030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  x.  a
) (.g `  G ) g )  e.  L  <->  ( (
( M  x.  a
) (.g `  G ) g )  e.  B  /\  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  ||  N
) )
137120, 133, 136sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g )  e.  L )
13878, 53lsmelvali 15204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  L  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  K  /\  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g )  e.  L ) )  -> 
( ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
13982, 83, 118, 137, 138syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
14081, 139eqeltrd 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
141 oveq1 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  ( ( ( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g ) )
142141eleq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
( 1 (.g `  G
) g )  e.  ( K  .(+)  L )  <-> 
( ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) ) (.g `  G
) g )  e.  ( K  .(+)  L ) ) )
143140, 142syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
14465, 143sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  ->  ( 1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
145144rexlimdvva 2773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  ->  ( 1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
14663, 145mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
14760, 146eqeltrrd 2455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  ( K  .(+)  L ) )
148147ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  ->  g  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
149148ssrdv 3290 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( K  .(+) 
L ) )
15057, 149eqssd 3301 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L )  =  B )
15152, 150jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  =  {  .0.  }  /\  ( K  .(+)  L )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643   {crab 2646   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   {csn 3750   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921   NNcn 9925   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   #chash 11538    || cdivides 12772    gcd cgcd 12926   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   0gc0g 13643   Grpcgrp 14605  .gcmg 14609  SubGrpcsubg 14858   odcod 15083   LSSumclsm 15188   Abelcabel 15333
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  15545  ablfac1b  15548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-disj 4117  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-ec 6836  df-qs 6840  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-eqg 14863  df-cntz 15036  df-od 15087  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335
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