Theorem ablgrp 8098

Description: An Abelian group operation is a group operation.

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- (G e. Abel -> G e. Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . 3 |- ran G = ran G
2	1	isabl 8097	. 2 |- (G e. Abel <-> (G e. Grp /\ A.x e. ran GA.y e. ran G(xGy) = (yGx)))
3	2	pm3.26bi 322	1 |- (G e. Abel -> G e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  ran crn 3177  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030  Abelcabl 8095

This theorem is referenced by:  abl23 8100  abl4 8101  ablmuldiv 8103  abldivdiv 8104  abldivdiv4 8105  ablnnncan 8107  ablnncan 8108  ablnnncan1 8109  cnid 8123  addinv 8124  readdsubg 8125  zaddsubg 8126  mulid 8128  ringgrp 8147  cnring 8158  vcgrp 8173  vcoprnelem 8193  isvc 8196  isvci 8197  nvgrp 8232  cnnv 8303  cnnvba 8305  cnph 8474  shftefif1olem 8736  hilid 9023  hhnv 9027  hhba 9029  hhph 9040  hhssabl 9127  hhssnv 9129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971  df-abl 8096

Copyright terms: Public domain