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Theorem ablomul 21022
Description: Nonzero complex number multiplication is an Abelian group operation. (Contributed by Steve Rodriguez, 12-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ablomul  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  AbelOp

Proof of Theorem ablomul
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8818 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 difexg 4162 . . . 4  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
4 mulnzcnopr 9414 . . 3  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) : ( ( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) --> ( CC  \  {
0 } )
5 ovres 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  =  ( x  x.  y ) )
6 eldifsn 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
7 eldifsn 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
8 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
98ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
10 mulne0 9410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
119, 10jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
126, 7, 11syl2anb 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y )  =/=  0 ) )
13 eldifsn 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
1412, 13sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
155, 14eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
1615anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )
17163impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
18 ovres 5987 . . . . 5  |-  ( ( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z )  =  ( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  x.  z ) )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  x.  z ) )
2053adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  =  ( x  x.  y
) )
2120oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  y
)  x.  z ) )
22 eldifi 3298 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
23 eldifi 3298 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
24 eldifi 3298 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
25 mulass 8825 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
2622, 23, 24, 25syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  z )  =  ( x  x.  (
y  x.  z ) ) )
27 ovres 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( y  x.  z ) )
2827eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) )
29283adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) )
3029oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x  x.  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
314fovcl 5949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
3227, 31eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
33 ovres 5987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) ( y  x.  z ) )  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
3433eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
3532, 34sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
36353impb 1147 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
3729oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) )  =  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
3836, 30, 373eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) z ) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z ) ) )
3926, 30, 383eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  z )  =  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
4019, 21, 393eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z ) ) )
41 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
42 ax-1ne0 8806 . . . 4  |-  1  =/=  0
43 eldifsn 3749 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
4441, 42, 43mpbir2an 886 . . 3  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
45 ovres 5987 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( 1  x.  x ) )
4644, 45mpan 651 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( 1  x.  x ) )
4722mulid2d 8853 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  x.  x )  =  x )
4846, 47eqtrd 2315 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  x )
49 reccl 9431 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
50 recne0 9437 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
5149, 50jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
526, 51sylbi 187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x )  =/=  0 ) )
53 eldifsn 3749 . . . 4  |-  ( ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
5452, 53sylibr 203 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
55 ovres 5987 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )
5654, 55mpancom 650 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )
57 recid2 9439 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  x.  x
)  =  1 )
586, 57sylbi 187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x )  x.  x )  =  1 )
5956, 58eqtrd 2315 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  1 )
603, 4, 40, 44, 48, 54, 59isgrpoi 20865 . 2  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  GrpOp
614fdmi 5394 . 2  |-  dom  (  x.  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )  =  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
62 mulcom 8823 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
6322, 23, 62syl2an 463 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  =  ( y  x.  x ) )
64 ovres 5987 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( y  x.  x ) )
6564ancoms 439 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( y  x.  x ) )
6663, 5, 653eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) x ) )
6760, 61, 66isabloi 20955 1  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640    X. cxp 4687    |` cres 4691  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   AbelOpcablo 20948
This theorem is referenced by:  mulid  21023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-grpo 20858  df-ablo 20949
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