MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablosn Unicode version

Theorem ablosn 21014
Description: The Abelian group operation for the singleton group. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ablosn  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  AbelOp

Proof of Theorem ablosn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21grposn 20882 . 2  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
31dmsnop 5147 . . 3  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. }
41, 1xpsn 5700 . . 3  |-  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. }
53, 4eqtr4i 2306 . 2  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  ( { A }  X.  { A } )
6 elsn 3655 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
7 elsn 3655 . . 3  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
8 oveq12 5867 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
9 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
10 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
119, 10sylan9eq 2335 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
128, 11eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( y {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } x
) )
136, 7, 12syl2anb 465 . 2  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x ) )
142, 5, 13isabloi 20955 1  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   AbelOpcablo 20948
This theorem is referenced by:  rngosn  21071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grpo 20858  df-ablo 20949
  Copyright terms: Public domain W3C validator