MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpncan3 Unicode version

Theorem ablpncan3 15167
Description: A cancellation law for commutative groups. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablpncan3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  Y )

Proof of Theorem ablpncan3
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  G  e.  Abel )
2 simprl 732 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
3 ablgrp 15143 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
5 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
6 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 ablsubadd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
86, 7grpsubcl 14595 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .-  X
)  e.  B )
94, 5, 2, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( Y  .-  X )  e.  B
)
10 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
116, 10ablcom 15155 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .-  X )  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( Y  .-  X )  .+  X
) )
121, 2, 9, 11syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  ( ( Y  .-  X
)  .+  X )
)
136, 10, 7grpnpcan 14606 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( Y  .-  X )  .+  X
)  =  Y )
144, 5, 2, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( Y  .-  X )  .+  X )  =  Y )
1512, 14eqtrd 2348 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   Grpcgrp 14411   -gcsg 14414   Abelcabel 15139
This theorem is referenced by:  tsmsxplem2  17888  pjthlem2  18855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-cmn 15140  df-abl 15141
  Copyright terms: Public domain W3C validator