MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpncan3 Unicode version

Theorem ablpncan3 15118
Description: A cancellation law for commutative groups. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablpncan3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  Y )

Proof of Theorem ablpncan3
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  G  e.  Abel )
2 simprl 732 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
3 ablgrp 15094 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
5 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
6 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 ablsubadd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
86, 7grpsubcl 14546 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .-  X
)  e.  B )
94, 5, 2, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( Y  .-  X )  e.  B
)
10 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
116, 10ablcom 15106 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .-  X )  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( Y  .-  X )  .+  X
) )
121, 2, 9, 11syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  ( ( Y  .-  X
)  .+  X )
)
136, 10, 7grpnpcan 14557 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( Y  .-  X )  .+  X
)  =  Y )
144, 5, 2, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( Y  .-  X )  .+  X )  =  Y )
1512, 14eqtrd 2315 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  tsmsxplem2  17836  pjthlem2  18802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator