Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpnpcan Unicode version

Theorem ablpnpcan 15137
 Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (pnpcan 9102 analog.) (Contributed by NM, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubsub.g
ablsubsub.x
ablsubsub.y
ablsubsub.z
ablpnpcan.g
ablpnpcan.x
ablpnpcan.y
ablpnpcan.z
Assertion
Ref Expression
ablpnpcan

Proof of Theorem ablpnpcan
StepHypRef Expression
1 ablsubsub.g . . 3
2 ablsubsub.x . . 3
3 ablsubsub.y . . 3
4 ablsubsub.z . . 3
5 ablsubadd.b . . . 4
6 ablsubadd.p . . . 4
7 ablsubadd.m . . . 4
85, 6, 7ablsub4 15130 . . 3
91, 2, 3, 2, 4, 8syl122anc 1191 . 2
10 ablgrp 15110 . . . . 5
111, 10syl 15 . . . 4
12 eqid 2296 . . . . 5
135, 12, 7grpsubid 14566 . . . 4
1411, 2, 13syl2anc 642 . . 3
1514oveq1d 5889 . 2
165, 7grpsubcl 14562 . . . 4
1711, 3, 4, 16syl3anc 1182 . . 3
185, 6, 12grplid 14528 . . 3
1911, 17, 18syl2anc 642 . 2
209, 15, 193eqtrd 2332 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1632   wcel 1696  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  cgrp 14378  csg 14381  cabel 15106 This theorem is referenced by:  hdmaprnlem7N  32670 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108
 Copyright terms: Public domain W3C validator