Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsub2inv Unicode version

Theorem ablsub2inv 15128
 Description: Abelian group subtraction of two inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsub2inv.b
ablsub2inv.m
ablsub2inv.n
ablsub2inv.g
ablsub2inv.x
ablsub2inv.y
Assertion
Ref Expression
ablsub2inv

Proof of Theorem ablsub2inv
StepHypRef Expression
1 ablsub2inv.b . . 3
2 eqid 2296 . . 3
3 ablsub2inv.m . . 3
4 ablsub2inv.n . . 3
5 ablsub2inv.g . . . 4
6 ablgrp 15110 . . . 4
75, 6syl 15 . . 3
8 ablsub2inv.x . . . 4
91, 4grpinvcl 14543 . . . 4
107, 8, 9syl2anc 642 . . 3
11 ablsub2inv.y . . 3
121, 2, 3, 4, 7, 10, 11grpsubinv 14557 . 2
131, 2ablcom 15122 . . . . . 6
145, 10, 11, 13syl3anc 1182 . . . . 5
151, 4grpinvinv 14551 . . . . . . 7
167, 11, 15syl2anc 642 . . . . . 6
1716oveq1d 5889 . . . . 5
1814, 17eqtr4d 2331 . . . 4
191, 4grpinvcl 14543 . . . . . 6
207, 11, 19syl2anc 642 . . . . 5
211, 2, 4grpinvadd 14560 . . . . 5
227, 8, 20, 21syl3anc 1182 . . . 4
2318, 22eqtr4d 2331 . . 3
241, 2, 4, 3grpsubval 14541 . . . . 5
258, 11, 24syl2anc 642 . . . 4
2625fveq2d 5545 . . 3
2723, 26eqtr4d 2331 . 2
281, 3, 4grpinvsub 14564 . . 3
297, 8, 11, 28syl3anc 1182 . 2
3012, 27, 293eqtrd 2332 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1632   wcel 1696  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  cgrp 14378  cminusg 14379  csg 14381  cabel 15106 This theorem is referenced by:  ngpinvds  18150  hdmap1neglem1N  32640 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108
 Copyright terms: Public domain W3C validator