Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsub4 Unicode version

Theorem ablsub4 15114
 Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
ablsub4

Proof of Theorem ablsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 15094 . . . . 5
213ad2ant1 976 . . . 4
3 simp2l 981 . . . 4
4 simp2r 982 . . . 4
5 ablsubadd.b . . . . 5
6 ablsubadd.p . . . . 5
75, 6grpcl 14495 . . . 4
82, 3, 4, 7syl3anc 1182 . . 3
9 simp3l 983 . . . 4
10 simp3r 984 . . . 4
115, 6grpcl 14495 . . . 4
122, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . 3
13 eqid 2283 . . . 4
14 ablsubadd.m . . . 4
155, 6, 13, 14grpsubval 14525 . . 3
168, 12, 15syl2anc 642 . 2
17 ablcmn 15095 . . . . 5 CMnd
18173ad2ant1 976 . . . 4 CMnd
19 simp2 956 . . . 4
205, 13grpinvcl 14527 . . . . 5
212, 9, 20syl2anc 642 . . . 4
225, 13grpinvcl 14527 . . . . 5
232, 10, 22syl2anc 642 . . . 4
245, 6cmn4 15108 . . . 4 CMnd
2518, 19, 21, 23, 24syl112anc 1186 . . 3
26 simp1 955 . . . . 5
275, 6, 13ablinvadd 15111 . . . . 5
2826, 9, 10, 27syl3anc 1182 . . . 4
2928oveq2d 5874 . . 3
305, 6, 13, 14grpsubval 14525 . . . . 5
313, 9, 30syl2anc 642 . . . 4
325, 6, 13, 14grpsubval 14525 . . . . 5
334, 10, 32syl2anc 642 . . . 4
3431, 33oveq12d 5876 . . 3
3525, 29, 343eqtr4d 2325 . 2
3616, 35eqtrd 2315 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cgrp 14362  cminusg 14363  csg 14365  CMndccmn 15089  cabel 15090 This theorem is referenced by:  abladdsub4  15115  ablpnpcan  15121  minveclem2  18790  baerlem3lem1  31897 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092
 Copyright terms: Public domain W3C validator