MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsub4 Unicode version

Theorem ablsub4 15130
Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablsub4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )

Proof of Theorem ablsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 15110 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
213ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
3 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
75, 6grpcl 14511 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
82, 3, 4, 7syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
9 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
10 simp3r 984 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
115, 6grpcl 14511 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
122, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  W )  e.  B )
13 eqid 2296 . . . 4  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
14 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
155, 6, 13, 14grpsubval 14541 . . 3  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( Z  .+  W )  e.  B )  -> 
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( Z  .+  W ) ) ) )
168, 12, 15syl2anc 642 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( inv g `  G ) `  ( Z  .+  W ) ) ) )
17 ablcmn 15111 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
18173ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
19 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
205, 13grpinvcl 14543 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
212, 9, 20syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Z
)  e.  B )
225, 13grpinvcl 14543 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  W  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  W
)  e.  B )
232, 10, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  W
)  e.  B )
245, 6cmn4 15124 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  ( ( inv g `  G
) `  W )  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (
( ( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G
) `  Z )
)  .+  ( Y  .+  ( ( inv g `  G ) `  W
) ) ) )
2518, 19, 21, 23, 24syl112anc 1186 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  Z
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G
) `  Z )
)  .+  ( Y  .+  ( ( inv g `  G ) `  W
) ) ) )
26 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Abel )
275, 6, 13ablinvadd 15127 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  ( ( inv g `  G ) `  W
) ) )
2826, 9, 10, 27syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  Z )  .+  ( ( inv g `  G ) `  W
) ) )
2928oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 ( Z  .+  W ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 Z )  .+  ( ( inv g `  G ) `  W
) ) ) )
305, 6, 13, 14grpsubval 14541 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  =  ( X 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 Z ) ) )
313, 9, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Z )  =  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Z
) ) )
325, 6, 13, 14grpsubval 14541 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  .-  W
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 W ) ) )
334, 10, 32syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  W )  =  ( Y  .+  (
( inv g `  G ) `  W
) ) )
3431, 33oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( Y  .-  W ) )  =  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Z
) )  .+  ( Y  .+  ( ( inv g `  G ) `
 W ) ) ) )
3525, 29, 343eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 ( Z  .+  W ) ) )  =  ( ( X 
.-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )
3616, 35eqtrd 2328 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381  CMndccmn 15105   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  abladdsub4  15131  ablpnpcan  15137  minveclem2  18806  baerlem3lem1  32519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108
  Copyright terms: Public domain W3C validator