Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abrexdom Unicode version

Theorem abrexdom 25817
Description: An indexed set is dominated by the indexing set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
abrexdom.1  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
Assertion
Ref Expression
abrexdom  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem abrexdom
StepHypRef Expression
1 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ph  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ph )
)
21abbii 2395 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
3 rnopab 4924 . . 3  |-  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
42, 3eqtr4i 2306 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
5 dmopabss 4890 . . . . 5  |-  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A
6 ssexg 4160 . . . . 5  |-  ( ( dom  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
75, 6mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
8 funopab 5287 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<-> 
A. y E* x
( y  e.  A  /\  ph ) )
9 abrexdom.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
10 moanimv 2201 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ( y  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  E* x ph ) )
119, 10mpbir 200 . . . . . . 7  |-  E* x
( y  e.  A  /\  ph )
128, 11mpgbir 1537 . . . . . 6  |-  Fun  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
1312a1i 10 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  Fun  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
14 funfn 5283 . . . . 5  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
1513, 14sylib 188 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
16 fnrndomg 8160 . . . 4  |-  ( dom 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V  ->  ( { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } ) )
177, 15, 16sylc 56 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
18 ssdomg 6907 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A ) )
195, 18mpi 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
20 domtr 6914 . . 3  |-  ( ( ran  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  /\  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )  ->  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
2117, 19, 20syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
224, 21syl5eqbr 4056 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   E*wmo 2144   {cab 2269   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   {copab 4076   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  abrexdom2  25818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator