Theorem abrexexg 3861

Description: Existence of a class abstraction of existentially restricted sets. x is normally a free-variable parameter in B. The antecedent assures us that A is a set.

Assertion

Ref	Expression
abrexexg	|- (A e. C -> {y | E.x e. A y = B} e. V)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem abrexexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexeq1 1787	. . . 4 |- (z = A -> (E.x e. z y = B <-> E.x e. A y = B))
2	1	abbidv 1577	. . 3 |- (z = A -> {y | E.x e. z y = B} = {y | E.x e. A y = B})
3	2	eleq1d 1540	. 2 |- (z = A -> ({y | E.x e. z y = B} e. V <-> {y | E.x e. A y = B} e. V))
4		visset 1813	. . 3 |- z e. V
5	4	abrexex 3860	. 2 |- {y | E.x e. z y = B} e. V
6	3, 5	vtoclg 1847	1 |- (A e. C -> {y | E.x e. A y = B} e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811

This theorem is referenced by:  iunexg 3862  cardiun 4859  subtop 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain