MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abrexfi Unicode version

Theorem abrexfi 7246
Description: An image set from a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
abrexfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem abrexfi
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
21rnmpt 5007 . 2  |-  ran  (
x  e.  A  |->  B )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
3 mptfi 7245 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
4 rnfi 7231 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
53, 4syl 15 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
62, 5syl5eqelr 2443 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   E.wrex 2620    e. cmpt 4158   ran crn 4772   Fincfn 6951
This theorem is referenced by:  fimaxre3  9793  mertenslem2  12438  iinopn  16754  cncmp  17225  cmpsublem  17232  ptbasfi  17382  alexsublem  17840  ptcmplem3  17850  prdsbl  18139  aannenlem2  19813  aalioulem2  19817  rencldnfilem  26226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-fin 6955
  Copyright terms: Public domain W3C validator