MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abrexfi Structured version   Unicode version

Theorem abrexfi 7436
Description: An image set from a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
abrexfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem abrexfi
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
21rnmpt 5145 . 2  |-  ran  (
x  e.  A  |->  B )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
3 mptfi 7435 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
4 rnfi 7420 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
62, 5syl5eqelr 2527 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428   E.wrex 2712    e. cmpt 4291   ran crn 4908   Fincfn 7138
This theorem is referenced by:  fimaxre3  9988  mertenslem2  12693  iinopn  17006  cncmp  17486  cmpsublem  17493  ptbasfi  17644  alexsublem  18106  ptcmplem3  18116  prdsbl  18552  aannenlem2  20277  aalioulem2  20281  rencldnfilem  26919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-fin 7142
  Copyright terms: Public domain W3C validator