Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abs2sqle Structured version   Unicode version

Theorem abs2sqle 25120
Description: The absolute values of two numbers compare as their squares. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2sqle  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem abs2sqle
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) )
21breq1d 4222 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  <_  ( abs `  B )  <->  ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  <_ 
( abs `  B
) ) )
31oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 ) )
43breq1d 4222 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  <_  ( ( abs `  B ) ^
2 )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  B
) ^ 2 ) ) )
52, 4bibi12d 313 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  <_  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  <_ 
( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) ) ) )
6 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( abs `  B
)  =  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ) )
76breq2d 4224 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  <_  ( abs `  B )  <->  ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  <_ 
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )
8 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( ( abs `  B )  =  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  ->  ( ( abs `  B ) ^
2 )  =  ( ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) )
98breq2d 4224 . . . 4  |-  ( ( abs `  B )  =  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  ->  ( (
( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  <_  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <_  (
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 )  <-> 
( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  <_  ( ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ) ^
2 ) ) )
117, 10bibi12d 313 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  <_ 
( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  <_ 
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <_  (
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) )
12 0cn 9084 . . . 4  |-  0  e.  CC
1312elimel 3791 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
1412elimel 3791 . . 3  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1513, 14abs2sqlei 25118 . 2  |-  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  <_  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) )
165, 11, 15dedth2h 3781 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3739   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    <_ cle 9121   2c2 10049   ^cexp 11382   abscabs 12039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041
  Copyright terms: Public domain W3C validator