MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Unicode version

Theorem abscld 11934
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 11779 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12015  elo1mpt  12024  elo1mpt2  12025  elo1d  12026  o1bdd2  12031  o1bddrp  12032  rlimuni  12040  climuni  12042  o1eq  12060  rlimcld2  12068  rlimrege0  12069  climabs0  12075  mulcn2  12085  reccn2  12086  cn1lem  12087  cjcn2  12089  o1add  12103  o1mul  12104  o1sub  12105  rlimo1  12106  o1rlimmul  12108  climsqz  12130  climsqz2  12131  rlimsqzlem  12138  o1le  12142  caucvgrlem  12161  caucvgrlem2  12163  iseraltlem3  12172  iseralt  12173  fsumabs  12275  o1fsum  12287  iserabs  12289  cvgcmpce  12292  abscvgcvg  12293  divrcnv  12327  explecnv  12339  geomulcvg  12348  cvgrat  12355  mertenslem1  12356  mertenslem2  12357  efcllem  12375  efaddlem  12390  eftlub  12405  ef01bndlem  12480  sin01bnd  12481  cos01bnd  12482  absef  12493  alzdvds  12594  sqnprm  12793  pclem  12907  mul4sqlem  13016  xrsdsreclb  16434  gzrngunitlem  16452  gzrngunit  16453  prmirredlem  16462  nm2dif  18162  blcvx  18320  recld2  18336  addcnlem  18384  cnheiborlem  18468  cnheibor  18469  cnllycmp  18470  cphsqrcl2  18638  ipcau2  18680  tchcphlem1  18681  ipcnlem2  18687  cncmet  18760  pjthlem1  18817  volsup2  18976  mbfi1fseqlem6  19091  iblabslem  19198  iblabs  19199  iblabsr  19200  iblmulc2  19201  itgabs  19205  bddmulibl  19209  itgcn  19213  dveflem  19342  dvlip  19356  dvlipcn  19357  c1liplem1  19359  dveq0  19363  dv11cn  19364  lhop1lem  19376  dvfsumabs  19386  dvfsumrlim  19394  dvfsumrlim2  19395  ftc1a  19400  ftc1lem4  19402  plyeq0lem  19608  aalioulem2  19729  aalioulem3  19730  aalioulem4  19731  aalioulem5  19732  aalioulem6  19733  aaliou  19734  geolim3  19735  aaliou2b  19737  aaliou3lem9  19746  ulmbdd  19791  ulmcn  19792  ulmdvlem1  19793  mtest  19797  iblulm  19799  itgulm  19800  radcnvlem1  19805  radcnvlem2  19806  radcnvlt1  19810  radcnvle  19812  dvradcnv  19813  pserulm  19814  psercnlem2  19816  psercnlem1  19817  psercn  19818  pserdvlem1  19819  pserdvlem2  19820  pserdv  19821  abelthlem2  19824  abelthlem3  19825  abelthlem5  19827  abelthlem7  19830  abelthlem8  19831  sineq0  19905  tanregt0  19917  efif1olem3  19922  efif1olem4  19923  eff1olem  19926  cosargd  19978  cosarg0d  19979  argrege0  19981  logcnlem3  20007  logcnlem4  20008  efopnlem1  20019  logtayl  20023  abscxp2  20056  cxpcn3lem  20103  abscxpbnd  20109  cosangneg2d  20121  lawcoslem1  20129  lawcos  20130  pythag  20131  isosctrlem3  20136  ssscongptld  20138  chordthmlem3  20147  chordthmlem4  20148  chordthmlem5  20149  bndatandm  20241  efrlim  20280  rlimcxp  20284  o1cxp  20285  cxploglim2  20289  divsqrsumo1  20294  fsumharmonic  20321  ftalem1  20326  ftalem2  20327  ftalem3  20328  ftalem4  20329  ftalem5  20330  ftalem7  20332  logfacbnd3  20478  logfacrlim  20479  logexprlim  20480  dchrabs  20515  lgsdirprm  20584  lgsdilem2  20586  lgsne0  20588  lgsabs1  20589  mul2sq  20620  2sqlem3  20621  2sqblem  20632  vmadivsumb  20648  rplogsumlem2  20650  dchrisumlem2  20655  dchrisumlem3  20656  dchrisum  20657  dchrmusum2  20659  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmasumiflem2  20667  dchrisum0flblem1  20673  dchrisum0fno1  20676  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem2  20683  dchrisum0lem3  20684  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  2vmadivsumlem  20705  log2sumbnd  20709  selberglem2  20711  selbergb  20714  selberg2b  20717  chpdifbndlem1  20718  selberg3lem1  20722  selberg3lem2  20723  selberg4lem1  20725  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd  20731  pntrsumbnd2  20732  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntrlog2bndlem6  20748  pntrlog2bnd  20749  pntpbnd1a  20750  pntpbnd2  20752  pntibndlem2  20756  pntlemn  20765  pntlemj  20768  pntlemf  20770  pntlemo  20772  pntlem3  20774  pntleml  20776  smcnlem  21286  nmoub3i  21367  isblo3i  21395  htthlem  21513  bcs2  21777  pjhthlem1  21986  nmfnsetre  22473  nmfnleub2  22522  nmfnge0  22523  nmbdfnlbi  22645  nmcfnexi  22647  nmcfnlbi  22648  lnfnconi  22651  cnlnadjlem2  22664  cnlnadjlem7  22669  nmopcoadji  22697  leopnmid  22734  sqsscirc2  23308  subfaclim  23734  subfacval3  23735  sinccvglem  24020  iblabsnclem  25014  iblabsnc  25015  iblmulc2nc  25016  itgabsnc  25020  bddiblnc  25021  ftc1cnnclem  25024  dvreasin  25026  dvreacos  25027  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029  areacirclem4  25030  areacirclem5  25032  areacirclem6  25033  areacirc  25034  msr3  25708  msr4  25709  mslb1  25710  2wsms  25711  lvsovso  25729  trirn  26566  geomcau  26578  cntotbnd  26623  rrndstprj1  26657  rrndstprj2  26658  ismrer1  26665  rencldnfilem  27006  irrapxlem2  27011  irrapxlem4  27013  irrapxlem5  27014  pellexlem2  27018  pellexlem6  27022  pell14qrgt0  27047  congabseq  27164  acongeq  27173  modabsdifz  27181  jm2.26lem3  27197  dvconstbi  27654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator