MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Unicode version

Theorem abscld 11918
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 11763 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  11999  elo1mpt  12008  elo1mpt2  12009  elo1d  12010  o1bdd2  12015  o1bddrp  12016  rlimuni  12024  climuni  12026  o1eq  12044  rlimcld2  12052  rlimrege0  12053  climabs0  12059  mulcn2  12069  reccn2  12070  cn1lem  12071  cjcn2  12073  o1add  12087  o1mul  12088  o1sub  12089  rlimo1  12090  o1rlimmul  12092  climsqz  12114  climsqz2  12115  rlimsqzlem  12122  o1le  12126  caucvgrlem  12145  caucvgrlem2  12147  iseraltlem3  12156  iseralt  12157  fsumabs  12259  o1fsum  12271  iserabs  12273  cvgcmpce  12276  abscvgcvg  12277  divrcnv  12311  explecnv  12323  geomulcvg  12332  cvgrat  12339  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  efcllem  12359  efaddlem  12374  eftlub  12389  ef01bndlem  12464  sin01bnd  12465  cos01bnd  12466  absef  12477  alzdvds  12578  sqnprm  12777  pclem  12891  mul4sqlem  13000  xrsdsreclb  16418  gzrngunitlem  16436  gzrngunit  16437  prmirredlem  16446  nm2dif  18146  blcvx  18304  recld2  18320  addcnlem  18368  cnheiborlem  18452  cnheibor  18453  cnllycmp  18454  cphsqrcl2  18622  ipcau2  18664  tchcphlem1  18665  ipcnlem2  18671  cncmet  18744  pjthlem1  18801  volsup2  18960  mbfi1fseqlem6  19075  iblabslem  19182  iblabs  19183  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgabs  19189  bddmulibl  19193  itgcn  19197  dveflem  19326  dvlip  19340  dvlipcn  19341  c1liplem1  19343  dveq0  19347  dv11cn  19348  lhop1lem  19360  dvfsumabs  19370  dvfsumrlim  19378  dvfsumrlim2  19379  ftc1a  19384  ftc1lem4  19386  plyeq0lem  19592  aalioulem2  19713  aalioulem3  19714  aalioulem4  19715  aalioulem5  19716  aalioulem6  19717  aaliou  19718  geolim3  19719  aaliou2b  19721  aaliou3lem9  19730  ulmbdd  19775  ulmcn  19776  ulmdvlem1  19777  mtest  19781  iblulm  19783  itgulm  19784  radcnvlem1  19789  radcnvlem2  19790  radcnvlt1  19794  radcnvle  19796  dvradcnv  19797  pserulm  19798  psercnlem2  19800  psercnlem1  19801  psercn  19802  pserdvlem1  19803  pserdvlem2  19804  pserdv  19805  abelthlem2  19808  abelthlem3  19809  abelthlem5  19811  abelthlem7  19814  abelthlem8  19815  sineq0  19889  tanregt0  19901  efif1olem3  19906  efif1olem4  19907  eff1olem  19910  cosargd  19962  cosarg0d  19963  argrege0  19965  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  efopnlem1  20003  logtayl  20007  abscxp2  20040  cxpcn3lem  20087  abscxpbnd  20093  cosangneg2d  20105  lawcoslem1  20113  lawcos  20114  pythag  20115  isosctrlem3  20120  ssscongptld  20122  chordthmlem3  20131  chordthmlem4  20132  chordthmlem5  20133  bndatandm  20225  efrlim  20264  rlimcxp  20268  o1cxp  20269  cxploglim2  20273  divsqrsumo1  20278  fsumharmonic  20305  ftalem1  20310  ftalem2  20311  ftalem3  20312  ftalem4  20313  ftalem5  20314  ftalem7  20316  logfacbnd3  20462  logfacrlim  20463  logexprlim  20464  dchrabs  20499  lgsdirprm  20568  lgsdilem2  20570  lgsne0  20572  lgsabs1  20573  mul2sq  20604  2sqlem3  20605  2sqblem  20616  vmadivsumb  20632  rplogsumlem2  20634  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrisum  20641  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0fno1  20660  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  mudivsum  20679  mulogsumlem  20680  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  2vmadivsumlem  20689  log2sumbnd  20693  selberglem2  20695  selbergb  20698  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem1  20706  selberg3lem2  20707  selberg4lem1  20709  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd  20715  pntrsumbnd2  20716  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1a  20734  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemn  20749  pntlemj  20752  pntlemf  20754  pntlemo  20756  pntlem3  20758  pntleml  20760  smcnlem  21270  nmoub3i  21351  isblo3i  21379  htthlem  21497  bcs2  21761  pjhthlem1  21970  nmfnsetre  22457  nmfnleub2  22506  nmfnge0  22507  nmbdfnlbi  22629  nmcfnexi  22631  nmcfnlbi  22632  lnfnconi  22635  cnlnadjlem2  22648  cnlnadjlem7  22653  nmopcoadji  22681  leopnmid  22718  sqsscirc2  23293  subfaclim  23719  subfacval3  23720  sinccvglem  24005  dvreasin  24923  dvreacos  24924  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  areacirclem4  24927  areacirclem5  24929  areacirclem6  24930  areacirc  24931  msr3  25605  msr4  25606  mslb1  25607  2wsms  25608  lvsovso  25626  trirn  26463  geomcau  26475  cntotbnd  26520  rrndstprj1  26554  rrndstprj2  26555  ismrer1  26562  rencldnfilem  26903  irrapxlem2  26908  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell14qrgt0  26944  congabseq  27061  acongeq  27070  modabsdifz  27078  jm2.26lem3  27094  dvconstbi  27551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
  Copyright terms: Public domain W3C validator