Theorem absclt 6833

Description: Real closure of absolute value.

Assertion

Ref	Expression
absclt	|- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)

Proof of Theorem absclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalt 6763	. 2 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
2		sqrclt 6711	. . 3 |- (((A x. (*` A)) e. RR /\ 0 <_ (A x. (*` A))) -> (sqr` (A x. (*` A))) e. RR)
3		cjmulrclt 6801	. . 3 |- (A e. CC -> (A x. (*` A)) e. RR)
4		cjmulge0t 6803	. . 3 |- (A e. CC -> 0 <_ (A x. (*` A)))
5	2, 3, 4	sylanc 473	. 2 |- (A e. CC -> (sqr` (A x. (*` A))) e. RR)
6	1, 5	eqeltrd 1551	1 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   x. cmul 5251   <_ cle 5307  sqrcsqr 6670  *ccj 6750  abscabs 6751

This theorem is referenced by:  abscl 6839  absrpclt 6855  absreimt 6857  absdivz 6859  leabst 6864  absexpt 6868  abssubne0t 6882  lenegsqt 6885  releabst 6886  absidmt 6892  abs2dift 6902  abs2difabst 6903  absf 6906  seq1bnd 6910  seq1ublem 6911  caubnd 6926  caure 6927  cauim 6928  ser1absdiflem 6929  fsumabs 7043  fsumabs2mul 7044  clm4le 7081  2climnn 7102  2climnn0 7103  climrecl 7110  climge0 7112  climabs0 7113  climaddlem3 7116  climmullem1 7120  climmullem3 7122  climmullem4 7123  climmullem5 7124  climsqueeze 7140  climsqueeze2 7141  climabslem 7148  climabs 7149  climcj 7150  climubi 7153  climcau 7156  caucvg 7163  serzf0 7169  ser1f0 7170  iserzabslem 7178  cvgcmp3c 7186  reccnv 7218  expcnv 7233  georeclim 7240  geoisumr 7243  cvgratlem3ALT 7249  cvgratlem3 7252  cvgratlem4 7253  cvgratlem5 7254  abscncflem 7274  cjcncf 7278  mulc1cncf 7279  efcltlem1 7304  efaddlem10 7347  efaddlem13 7350  efaddlem17 7354  efaddlem19 7356  abspef01tlub 7395  efcn 7423  sin01bndlem2 7469  cos01bndlem2 7471  abseft 7484  nmcnilem 8333  sm1cnilem 8343  nmoub3i 8432  isblo3i 8457  cnph 8474  minveclem24 8564  minveclem25 8565  htthlem6 8621  htthlem8 8623  efifolem5 8721  efifolem7 8723  eff1i 8739  effoi 8740  bcs2t 9044  occllem6 9173  projlem25 9205  projlem26 9206  nmfnsetret 9799  nmfnleub2t 9845  nmfnge0t 9846  nmophm 9956  bdophm 9957  nmbdfnlb 9973  nmcfnexlem3 9977  nmcfnexlem6 9980  nmcfnlb 9982  lnfncon 9985  nlelch 9989  cnlnadjlem2 9996  cnlnadjlem7 10001  nmopcoadj 10029  leopnmidt 10066  msr3 10596  msr4 10597  mslb1 10600  2wsms 10601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

Copyright terms: Public domain