MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscvgcvg Structured version   Unicode version

Theorem abscvgcvg 12600
Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscvgcvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
abscvgcvg.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
abscvgcvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
abscvgcvg.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
abscvgcvg.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
abscvgcvg  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem abscvgcvg
StepHypRef Expression
1 abscvgcvg.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 abscvgcvg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 uzid 10502 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
54, 1syl6eleqr 2529 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
6 abscvgcvg.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
7 abscvgcvg.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
87abscld 12240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
96, 8eqeltrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
10 abscvgcvg.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
11 1re 9092 . . 3  |-  1  e.  RR
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
131eleq2i 2502 . . 3  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
146eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  =  ( F `  k
) )
15 eqle 9178 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  ( G `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( G `
 k ) )  =  ( F `  k ) )  -> 
( abs `  ( G `  k )
)  <_  ( F `  k ) )
168, 14, 15syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  <_ 
( F `  k
) )
179recnd 9116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1817mulid2d 9108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  x.  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
1916, 18breqtrrd 4240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  <_ 
( 1  x.  ( F `  k )
) )
2013, 19sylan2br 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 k ) ) )
211, 5, 9, 7, 10, 12, 20cvgcmpce 12599 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    <_ cle 9123   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490    seq cseq 11325   abscabs 12041    ~~> cli 12280
This theorem is referenced by:  mertens  12665  radcnvlem3  20333  radcnvlt2  20337  zetacvg  24801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
  Copyright terms: Public domain W3C validator