MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absdifle Unicode version

Theorem absdifle 11849
Description: The absolute value of a difference and 'less than or equal to' relation. (Contributed by Paul Chapman, 18-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absdifle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <_  C  <->  ( ( B  -  C )  <_  A  /\  A  <_ 
( B  +  C
) ) ) )

Proof of Theorem absdifle
StepHypRef Expression
1 resubcl 9156 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
2 absle 11846 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  C  <->  ( -u C  <_  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  <_  C
) ) )
31, 2sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  C  <->  (
-u C  <_  ( A  -  B )  /\  ( A  -  B
)  <_  C )
) )
433impa 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <_  C  <->  ( -u C  <_  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  <_  C
) ) )
5 renegcl 9155 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  -u C  e.  RR )
6 leaddsub2 9296 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  -u C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  +  -u C )  <_  A  <->  -u C  <_  ( A  -  B ) ) )
75, 6syl3an2 1216 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( B  +  -u C )  <_  A  <->  -u C  <_  ( A  -  B ) ) )
873comr 1159 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B  +  -u C )  <_  A  <->  -u C  <_  ( A  -  B ) ) )
9 recn 8872 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
10 recn 8872 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
11 negsub 9140 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
129, 10, 11syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
13123adant1 973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
1413breq1d 4070 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B  +  -u C )  <_  A  <->  ( B  -  C )  <_  A ) )
158, 14bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -u C  <_  ( A  -  B )  <->  ( B  -  C )  <_  A
) )
16 lesubadd2 9292 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( B  +  C ) ) )
1715, 16anbi12d 691 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( -u C  <_  ( A  -  B )  /\  ( A  -  B
)  <_  C )  <->  ( ( B  -  C
)  <_  A  /\  A  <_  ( B  +  C ) ) ) )
184, 17bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <_  C  <->  ( ( B  -  C )  <_  A  /\  A  <_ 
( B  +  C
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781    + caddc 8785    <_ cle 8913    - cmin 9082   -ucneg 9083   abscabs 11766
This theorem is referenced by:  elicc4abs  11850  rddif  11871  absdifled  11964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768
  Copyright terms: Public domain W3C validator