Theorem absdivz 6859

Description: Absolute value distributes over division.

Hypotheses

Ref	Expression
absdivz.1	|- A e. CC
absdivz.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
absdivz	|- (B =/= 0 -> (abs` (A / B)) = ((abs` A) / (abs` B)))

Proof of Theorem absdivz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absdivz.1	. . . . . 6 |- A e. CC
2		absdivz.2	. . . . . 6 |- B e. CC
3	1, 2	divclz 5711	. . . . 5 |- (B =/= 0 -> (A / B) e. CC)
4		absmult 6858	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ (A / B) e. CC) -> (abs` (B x. (A / B))) = ((abs` B) x. (abs` (A / B))))
5	2, 4	mpan 695	. . . . 5 |- ((A / B) e. CC -> (abs` (B x. (A / B))) = ((abs` B) x. (abs` (A / B))))
6	3, 5	syl 10	. . . 4 |- (B =/= 0 -> (abs` (B x. (A / B))) = ((abs` B) x. (abs` (A / B))))
7	1, 2	divcan2z 5719	. . . . 5 |- (B =/= 0 -> (B x. (A / B)) = A)
8	7	fveq2d 3728	. . . 4 |- (B =/= 0 -> (abs` (B x. (A / B))) = (abs` A))
9	6, 8	eqtr3d 1509	. . 3 |- (B =/= 0 -> ((abs` B) x. (abs` (A / B))) = (abs` A))
10		divmult 5707	. . . 4 |- ((((abs` A) e. CC /\ (abs` B) e. CC /\ (abs` (A / B)) e. CC) /\ (abs` B) =/= 0) -> (((abs` A) / (abs` B)) = (abs` (A / B)) <-> ((abs` B) x. (abs` (A / B))) = (abs` A)))
11	1	abscl 6839	. . . . . . 7 |- (abs` A) e. RR
12	11	recn 5314	. . . . . 6 |- (abs` A) e. CC
13	12	a1i 8	. . . . 5 |- (B =/= 0 -> (abs` A) e. CC)
14	2	abscl 6839	. . . . . . 7 |- (abs` B) e. RR
15	14	recn 5314	. . . . . 6 |- (abs` B) e. CC
16	15	a1i 8	. . . . 5 |- (B =/= 0 -> (abs` B) e. CC)
17		absclt 6833	. . . . . 6 |- ((A / B) e. CC -> (abs` (A / B)) e. RR)
18		recnt 5313	. . . . . 6 |- ((abs` (A / B)) e. RR -> (abs` (A / B)) e. CC)
19	3, 17, 18	3syl 20	. . . . 5 |- (B =/= 0 -> (abs` (A / B)) e. CC)
20	13, 16, 19	3jca 819	. . . 4 |- (B =/= 0 -> ((abs` A) e. CC /\ (abs` B) e. CC /\ (abs` (A / B)) e. CC))
21	2	abs00 6842	. . . . . 6 |- ((abs` B) = 0 <-> B = 0)
22	21	necon3bii 1598	. . . . 5 |- ((abs` B) =/= 0 <-> B =/= 0)
23	22	biimpr 152	. . . 4 |- (B =/= 0 -> (abs` B) =/= 0)
24	10, 20, 23	sylanc 471	. . 3 |- (B =/= 0 -> (((abs` A) / (abs` B)) = (abs` (A / B)) <-> ((abs` B) x. (abs` (A / B))) = (abs` A)))
25	9, 24	mpbird 196	. 2 |- (B =/= 0 -> ((abs` A) / (abs` B)) = (abs` (A / B)))
26	25	eqcomd 1480	1 |- (B =/= 0 -> (abs` (A / B)) = ((abs` A) / (abs` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   / cdiv 5294  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  absdivt 6860  abs1m 6904

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain