Theorem absefm1le 7412

Description: The absolute value of the exponential function minus 1 is less than or equal to the exponential function minus 1 of the absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
absefm1le.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
absefm1le	|- (abs` ((exp` A) - 1)) <_ ((exp` (abs` A)) - 1)

Proof of Theorem absefm1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3983	. 2 |- ((exp` A) - 1) e. V
2		oprex 3983	. 2 |- ((exp` (abs` A)) - 1) e. V
3		nn0ex 6105	. . 3 |- NN0 e. V
4	3	opabex2 3610	. 2 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} e. V
5	3	opabex2 3610	. 2 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))} e. V
6		1z 6159	. 2 |- 1 e. ZZ
7		elnnuz 6440	. . . . 5 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>` 1))
8		nnnn0t 6106	. . . . 5 |- (k e. NN -> k e. NN0)
9	7, 8	sylbir 201	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` 1) -> k e. NN0)
10		eqid 1475	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
11	10	eftval 7316	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) = ((A^k) / (!` k)))
12		absefm1le.1	. . . . . 6 |- A e. CC
13		eftclt 7303	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
14	12, 13	mpan 695	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
15	11, 14	eqeltrd 1548	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
16	9, 15	syl 10	. . 3 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
17		absdivt 6860	. . . . . . 7 |- (((A^k) e. CC /\ (!` k) e. CC /\ (!` k) =/= 0) -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))))
18		expclt 6581	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
19	12, 18	mpan 695	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. CC)
20		facclt 6940	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
21		nnret 5929	. . . . . . . 8 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
22		recnt 5313	. . . . . . . 8 |- ((!` k) e. RR -> (!` k) e. CC)
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. CC)
24		facne0t 6941	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (!` k) =/= 0)
25	17, 19, 23, 24	syl3anc 858	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))))
26		absexpt 6868	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
27	12, 26	mpan 695	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
28		absidt 6862	. . . . . . . 8 |- (((!` k) e. RR /\ 0 <_ (!` k)) -> (abs` (!` k)) = (!` k))
29	20, 21	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
30		0re 5440	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
31		ltlet 5520	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ (!` k) e. RR) -> (0 < (!` k) -> 0 <_ (!` k)))
32	30, 31	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. RR -> (0 < (!` k) -> 0 <_ (!` k)))
33		nngt0t 5946	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
34	20, 33	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> 0 < (!` k))
35	32, 29, 34	sylc 68	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> 0 <_ (!` k))
36	28, 29, 35	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (abs` (!` k)) = (!` k))
37	27, 36	opreq12d 3978	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
38	25, 37	eqtrd 1507	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
39	11	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)) = (abs` ((A^k) / (!` k))))
40		eqid 1475	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}
41	40	eftval 7316	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
42	38, 39, 41	3eqtr4rd 1518	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)))
43	9, 42	syl 10	. . 3 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)))
44	16, 43	jca 288	. 2 |- (k e. (ZZ>` 1) -> (({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC /\ ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k))))
45	10, 12	efm1lim 7411	. 2 |- (<.1, + >. seq {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> ((exp` A) - 1)
46	12	abscl 6839	. . . 4 |- (abs` A) e. RR
47	46	recn 5314	. . 3 |- (abs` A) e. CC
48	40, 47	efm1lim 7411	. 2 |- (<.1, + >. seq {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}) ~~> ((exp` (abs` A)) - 1)
49	1, 2, 4, 5, 6, 44, 45, 48	iserzabs 7179	1 |- (abs` ((exp` A) - 1)) <_ ((exp` (abs` A)) - 1)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   - cmin 5292   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  ^cexp 6568  abscabs 6750  !cfa 6931  expce 7293

This theorem is referenced by:  efcnlem2 7420

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain