Theorem abseft 7484

Description: The absolute value of the exponential function is the exponential function of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abseft	|- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (exp` (Re` A)))

Proof of Theorem abseft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replimt 6762	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
2		fveq2 3730	. . . . . . . 8 |- (A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))) -> (exp` A) = (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))))
3	1, 2	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (exp` A) = (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))))
4		efaddt 7367	. . . . . . . 8 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
5		reclt 6758	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
6		recnt 5325	. . . . . . . . 9 |- ((Re` A) e. RR -> (Re` A) e. CC)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
8		axmulcl 5285	. . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) e. CC)
9		axicn 5282	. . . . . . . . . 10 |- i e. CC
10	9	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> i e. CC)
11		imclt 6759	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
12		recnt 5325	. . . . . . . . . 10 |- ((Im` A) e. RR -> (Im` A) e. CC)
13	11, 12	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
14	8, 10, 13	sylanc 473	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
15	4, 7, 14	sylanc 473	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
16	3, 15	eqtrd 1510	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
17		fveq2 3730	. . . . . 6 |- ((exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))) -> (abs` (exp` A)) = (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))))
18	16, 17	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))))
19		absmult 6858	. . . . . 6 |- (((exp` (Re` A)) e. CC /\ (exp` (i x. (Im` A))) e. CC) -> (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))))
20		reefclt 7318	. . . . . . . 8 |- ((Re` A) e. RR -> (exp` (Re` A)) e. RR)
21	5, 20	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (exp` (Re` A)) e. RR)
22		recnt 5325	. . . . . . 7 |- ((exp` (Re` A)) e. RR -> (exp` (Re` A)) e. CC)
23	21, 22	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` (Re` A)) e. CC)
24		efclt 7312	. . . . . . 7 |- ((i x. (Im` A)) e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) e. CC)
25	14, 24	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) e. CC)
26	19, 23, 25	sylanc 473	. . . . 5 |- (A e. CC -> (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))))
27	18, 26	eqtrd 1510	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))))
28		absefit 7483	. . . . . 6 |- ((Im` A) e. RR -> (abs` (exp` (i x. (Im` A)))) = 1)
29	11, 28	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (i x. (Im` A)))) = 1)
30		opreq2 3975	. . . . 5 |- ((abs` (exp` (i x. (Im` A)))) = 1 -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1))
31	29, 30	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1))
32	27, 31	eqtrd 1510	. . 3 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1))
33		absclt 6833	. . . . 5 |- ((exp` (Re` A)) e. CC -> (abs` (exp` (Re` A))) e. RR)
34		recnt 5325	. . . . 5 |- ((abs` (exp` (Re` A))) e. RR -> (abs` (exp` (Re` A))) e. CC)
35	23, 33, 34	3syl 20	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (Re` A))) e. CC)
36		ax1id 5294	. . . 4 |- ((abs` (exp` (Re` A))) e. CC -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1) = (abs` (exp` (Re` A))))
37	35, 36	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1) = (abs` (exp` (Re` A))))
38	32, 37	eqtrd 1510	. 2 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (abs` (exp` (Re` A))))
39		absidt 6862	. . 3 |- (((exp` (Re` A)) e. RR /\ 0 <_ (exp` (Re` A))) -> (abs` (exp` (Re` A))) = (exp` (Re` A)))
40		efgt0t 7405	. . . . 5 |- ((Re` A) e. RR -> 0 < (exp` (Re` A)))
41	5, 40	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> 0 < (exp` (Re` A)))
42		ltlet 5532	. . . . 5 |- ((0 e. RR /\ (exp` (Re` A)) e. RR) -> (0 < (exp` (Re` A)) -> 0 <_ (exp` (Re` A))))
43		0reALT 5453	. . . . . 6 |- 0 e. RR
44	43	a1i 8	. . . . 5 |- (A e. CC -> 0 e. RR)
45	42, 44, 21	sylanc 473	. . . 4 |- (A e. CC -> (0 < (exp` (Re` A)) -> 0 <_ (exp` (Re` A))))
46	41, 45	mpd 26	. . 3 |- (A e. CC -> 0 <_ (exp` (Re` A)))
47	39, 21, 46	sylanc 473	. 2 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (Re` A))) = (exp` (Re` A)))
48	38, 47	eqtrd 1510	1 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (exp` (Re` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307   < clt 5498  Recre 6748  Imcim 6749  abscabs 6751  expce 7293

This theorem is referenced by:  eff1lem 8738  eff1i 8739

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain