MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Unicode version

Theorem absge0d 11942
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 11788 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   CCcc 8751   0cc0 8753    <_ cle 8884   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12015  mulcn2  12085  o1mul  12104  o1rlimmul  12108  o1fsum  12287  cvgcmpce  12292  explecnv  12339  cvgrat  12355  mertenslem1  12356  mertenslem2  12357  efcllem  12375  eftlub  12405  sqnprm  12793  gzrngunitlem  16452  blcvx  18320  cnheibor  18469  cphsqrcl2  18638  ipcau2  18680  mbfi1fseqlem6  19091  iblabs  19199  iblabsr  19200  iblmulc2  19201  itgabs  19205  bddmulibl  19209  itgcn  19213  dvlip  19356  dvlipcn  19357  dveq0  19363  dv11cn  19364  plyeq0lem  19608  aalioulem3  19730  mtest  19797  radcnvlem1  19805  radcnvlem2  19806  radcnvlt1  19810  dvradcnv  19813  pserulm  19814  psercnlem2  19816  psercnlem1  19817  pserdvlem1  19819  pserdv  19821  abelthlem5  19827  abelthlem7  19830  abelthlem8  19831  tanregt0  19917  efif1olem3  19922  argregt0  19980  argrege0  19981  logtayllem  20022  logtayl  20023  abscxpbnd  20109  efrlim  20280  rlimcxp  20284  ftalem1  20326  ftalem4  20329  ftalem5  20330  lgsdirprm  20584  lgsdilem2  20586  lgsne0  20588  2sqblem  20632  dchrisumlem2  20655  dchrmusum2  20659  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem1  20666  dchrisum0flblem1  20673  dchrisum0lem2a  20682  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  mulog2sumlem2  20700  selberglem2  20711  selberg3lem2  20723  pntrsumbnd  20731  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem5  20746  pntrlog2bndlem6  20748  pntrlog2bnd  20749  pntleml  20776  smcnlem  21286  nmoub3i  21367  nmfnge0  22523  sqsscirc2  23308  iblabsnc  25015  iblmulc2nc  25016  itgabsnc  25020  bddiblnc  25021  dvreasin  25026  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029  areacirclem4  25030  areacirclem5  25032  areacirclem6  25033  areacirc  25034  trirn  26566  cntotbnd  26623  rrndstprj1  26657  rrndstprj2  26658  ismrer1  26665  pell14qrgt0  27047  dvconstbi  27654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator