MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Unicode version

Theorem absge0d 11926
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 11772 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   CCcc 8735   0cc0 8737    <_ cle 8868   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  11999  mulcn2  12069  o1mul  12088  o1rlimmul  12092  o1fsum  12271  cvgcmpce  12276  explecnv  12323  cvgrat  12339  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  efcllem  12359  eftlub  12389  sqnprm  12777  gzrngunitlem  16436  blcvx  18304  cnheibor  18453  cphsqrcl2  18622  ipcau2  18664  mbfi1fseqlem6  19075  iblabs  19183  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgabs  19189  bddmulibl  19193  itgcn  19197  dvlip  19340  dvlipcn  19341  dveq0  19347  dv11cn  19348  plyeq0lem  19592  aalioulem3  19714  mtest  19781  radcnvlem1  19789  radcnvlem2  19790  radcnvlt1  19794  dvradcnv  19797  pserulm  19798  psercnlem2  19800  psercnlem1  19801  pserdvlem1  19803  pserdv  19805  abelthlem5  19811  abelthlem7  19814  abelthlem8  19815  tanregt0  19901  efif1olem3  19906  argregt0  19964  argrege0  19965  logtayllem  20006  logtayl  20007  abscxpbnd  20093  efrlim  20264  rlimcxp  20268  ftalem1  20310  ftalem4  20313  ftalem5  20314  lgsdirprm  20568  lgsdilem2  20570  lgsne0  20572  2sqblem  20616  dchrisumlem2  20639  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0lem2a  20666  mudivsum  20679  mulogsumlem  20680  mulog2sumlem2  20684  selberglem2  20695  selberg3lem2  20707  pntrsumbnd  20715  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntleml  20760  smcnlem  21270  nmoub3i  21351  nmfnge0  22507  sqsscirc2  23293  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  areacirclem4  24927  areacirclem5  24929  areacirclem6  24930  areacirc  24931  trirn  26463  cntotbnd  26520  rrndstprj1  26554  rrndstprj2  26555  ismrer1  26562  pell14qrgt0  26944  dvconstbi  27551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
  Copyright terms: Public domain W3C validator