MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absid Unicode version

Theorem absid 12030
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absid  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absid
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
21recnd 9049 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
3 absval 11972 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
51cjred 11960 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( * `  A
)  =  A )
65oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A  x.  A ) )
72sqvald 11449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
86, 7eqtr4d 2424 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A ^ 2 ) )
98fveq2d 5674 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
10 sqrsq 12004 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  A )
114, 9, 103eqtrd 2425 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925    x. cmul 8930    <_ cle 9056   2c2 9983   ^cexp 11311   *ccj 11830   sqrcsqr 11967   abscabs 11968
This theorem is referenced by:  abs1  12031  absnid  12032  leabs  12033  absor  12034  sqabs  12041  max0add  12044  absidm  12056  abssubge0  12060  fzomaxdiflem  12075  absidi  12110  absidd  12154  o1fsum  12521  geo2lim  12581  geoihalfsum  12588  ege2le3  12621  eirrlem  12732  rpnnen2lem3  12745  rpnnen2lem9  12751  iscmet3lem3  19116  minveclem2  19196  mbfi1fseqlem6  19481  dvfsumrlim  19784  aaliou3lem3  20130  pserulm  20207  pige3  20294  efif1olem4  20316  cxpcn3lem  20500  log2cnv  20653  log2tlbnd  20654  cxplim  20679  cxploglim2  20686  divsqrsumo1  20691  fsumharmonic  20719  logfacrlim  20877  logexprlim  20878  dchrmusum2  21057  dchrvmasumlem3  21062  dchrisum0lem1  21079  dchrisum0lem2a  21080  dchrisum0lem2  21081  mudivsum  21093  mulogsumlem  21094  log2sumbnd  21107  selberglem2  21109  selberg3lem1  21120  pntpbnd2  21150  pntibndlem2  21154  pntlemn  21163  pntlemj  21166  pntlemo  21170  nvsge0  22002  nmoub2i  22125  minvecolem2  22227  zetacvg  24580  subfacval3  24656  oddcomabszz  26700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970
  Copyright terms: Public domain W3C validator