MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Unicode version

Theorem absidd 11905
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrcld.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
absidd  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqrcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 absid 11781 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   RRcr 8736   0cc0 8737    <_ cle 8868   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  rlimno1  12127  iseralt  12157  cvgcmpce  12276  divrcnv  12311  geomulcvg  12332  cvgrat  12339  mertenslem2  12341  eftabs  12357  efcllem  12359  efaddlem  12374  eftlub  12389  eflegeo  12401  ef01bndlem  12464  absef  12477  efieq1re  12479  divalg2  12604  nn0gcdid0  12704  absmulgcd  12726  gcdmultiple  12729  gcdmultiplez  12730  mulgcddvds  12783  phibndlem  12838  dfphi2  12842  mul4sqlem  13000  4sqlem11  13002  prmirredlem  16446  prmirred  16448  blcvx  18304  reperflem  18323  reconnlem2  18332  nmoleub2lem3  18596  nmoleub3  18600  tchcphlem1  18665  iscmet3lem3  18716  pjthlem1  18801  lhop1lem  19360  ftc1lem4  19386  plyeq0lem  19592  aalioulem4  19715  mtest  19781  radcnvlem1  19789  radcnvlt1  19794  radcnvle  19796  dvradcnv  19797  pserdvlem2  19804  abelth2  19818  tanabsge  19874  sineq0  19889  divlogrlim  19982  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  logtayllem  20006  logtayl  20007  abscxp2  20040  chordthmlem4  20132  rlimcnp  20260  ftalem5  20314  lgsval2lem  20545  lgsval4a  20557  2sqlem3  20605  chebbnd1  20621  chtppilimlem2  20623  chto1ub  20625  vmadivsum  20631  vmadivsumb  20632  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0fno1  20660  dchrisum0re  20662  rplogsum  20676  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  2vmadivsumlem  20689  selbergb  20698  selberg2lem  20699  selberg2b  20701  selberg3lem1  20706  selberg3lem2  20707  selberg4lem1  20709  pntrsumo1  20714  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntibndlem2  20740  ostth2  20786  htthlem  21497  bcsiALT  21758  norm1  21828  pjhthlem1  21970  nmbdoplbi  22604  nmcexi  22606  nmcopexi  22607  nmcoplbi  22608  nmbdfnlbi  22629  nmcfnexi  22631  nmcfnlbi  22632  cnlnadjlem7  22653  nmopcoi  22675  nmopcoadji  22681  branmfn  22685  strlem1  22830  subfaclim  23719  mslb1  25607  lvsovso  25626  lmclim2  26474  geomcau  26475  cntotbnd  26520  irrapxlem2  26908  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  oddcomabszz  27029  jm2.19  27086  jm2.26lem3  27094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
  Copyright terms: Public domain W3C validator