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Theorem absle 11799
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  RR )
21renegcld 9210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  e.  RR )
31recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  CC )
4 abscl 11763 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  B  e.  RR )
7 leabs 11784 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u A  <_  ( abs `  -u A
) )
82, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  -u A ) )
9 absneg 11762 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
103, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
118, 10breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  A ) )
12 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 8973 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  B
)
14 leabs 11784 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
1514ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 8973 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  B )
1713, 16jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B
) )
1817ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  ->  (
-u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
19 absor 11785 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
2019adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
21 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  A )  =  A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  A  <_  B ) )
2221biimprd 214 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  A )  =  A  ->  ( A  <_  B  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
23 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  -u A  <_  B ) )
2423biimprd 214 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  ( -u A  <_  B  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
2522, 24jaoa 496 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A )  -> 
( ( A  <_  B  /\  -u A  <_  B
)  ->  ( abs `  A )  <_  B
) )
2625ancomsd 440 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A )  -> 
( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
2720, 26syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
2818, 27impbid 183 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
29 lenegcon1 9278 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
3029anbi1d 685 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
3128, 30bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736    <_ cle 8868   -ucneg 9038   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  absdifle  11802  lenegsq  11804  abs2difabs  11818  abslei  11875  absled  11913  volsup2  18960  efif1olem3  19906  argregt0  19964  argrege0  19965  abscxpbnd  20093  lgseisen  20592  pellexlem5  26918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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