Theorem abslt 6875

Description: Absolute value and 'less than' relation.

Hypotheses

Ref	Expression
abslt.1	|- A e. RR
abslt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
abslt	|- ((abs` A) < B <-> (-uB < A /\ A < B))

Proof of Theorem abslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abslt.1	. . . . . . . 8 |- A e. RR
2	1	renegcl 5428	. . . . . . 7 |- -uA e. RR
3	2	leabs 6872	. . . . . 6 |- -uA <_ (abs` -uA)
4	1	recn 5326	. . . . . . 7 |- A e. CC
5	4	absneg 6844	. . . . . 6 |- (abs` -uA) = (abs` A)
6	3, 5	breqtr 2643	. . . . 5 |- -uA <_ (abs` A)
7	4	abscl 6839	. . . . . 6 |- (abs` A) e. RR
8		abslt.2	. . . . . 6 |- B e. RR
9	2, 7, 8	lelttr 5598	. . . . 5 |- ((-uA <_ (abs` A) /\ (abs` A) < B) -> -uA < B)
10	6, 9	mpan 697	. . . 4 |- ((abs` A) < B -> -uA < B)
11	1	leabs 6872	. . . . 5 |- A <_ (abs` A)
12	1, 7, 8	lelttr 5598	. . . . 5 |- ((A <_ (abs` A) /\ (abs` A) < B) -> A < B)
13	11, 12	mpan 697	. . . 4 |- ((abs` A) < B -> A < B)
14	10, 13	jca 288	. . 3 |- ((abs` A) < B -> (-uA < B /\ A < B))
15	1	absor 6873	. . . . 5 |- ((abs` A) = A \/ (abs` A) = -uA)
16		breq1 2627	. . . . . . 7 |- ((abs` A) = A -> ((abs` A) < B <-> A < B))
17	16	biimprcd 156	. . . . . 6 |- (A < B -> ((abs` A) = A -> (abs` A) < B))
18		breq1 2627	. . . . . . 7 |- ((abs` A) = -uA -> ((abs` A) < B <-> -uA < B))
19	18	biimprcd 156	. . . . . 6 |- (-uA < B -> ((abs` A) = -uA -> (abs` A) < B))
20	17, 19	jaao 429	. . . . 5 |- ((A < B /\ -uA < B) -> (((abs` A) = A \/ (abs` A) = -uA) -> (abs` A) < B))
21	15, 20	mpi 44	. . . 4 |- ((A < B /\ -uA < B) -> (abs` A) < B)
22	21	ancoms 438	. . 3 |- ((-uA < B /\ A < B) -> (abs` A) < B)
23	14, 22	impbi 157	. 2 |- ((abs` A) < B <-> (-uA < B /\ A < B))
24	1, 8	ltnegcon1 5678	. . 3 |- (-uA < B <-> -uB < A)
25	24	anbi1i 483	. 2 |- ((-uA < B /\ A < B) <-> (-uB < A /\ A < B))
26	23, 25	bitr 173	1 |- ((abs` A) < B <-> (-uB < A /\ A < B))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  RRcr 5245  -ucneg 5305   <_ cle 5307   < clt 5498  abscabs 6751

This theorem is referenced by:  absltt 6880  eflegeolem2 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

Copyright terms: Public domain